统考版2024高考数学二轮专题复习课时作业14概率随机变量及其分布列理

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1．[2023·青海省西宁市高三二模]若P(AB)＝eq \f(1,9)，P(eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(2,3)，P(B)＝eq \f(1,3)，则事件A与B的关系是( )
A．事件A与B互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又相互独立
2．[2023·陕西省西安市高三二模]已知从甲袋中摸出一个红球的概率是eq \f(1,3)，从乙袋中摸出一个红球的概率是eq \f(1,2)，现从两袋中各摸出一个球，下列结论错误的是( )
A．两个球都是红球的概率为eq \f(1,6)
B．两个球中恰有1个红球的概率为eq \f(1,2)
C．两个球不都是红球的概率为eq \f(1,3)
D．至少有1个红球的概率为eq \f(2,3)
3．[2023·山西省临汾市高三二模]现有甲、乙、丙三个工厂加工的同种产品各100件，按标准分为一、二两个等级，其中甲、乙、丙三个工厂的一等品各有60件、70件、80件．从这300件产品中任选一件产品，则下列说法错误的是( )
A．选中的产品是甲厂的一等品与选中的产品是乙厂的二等品互斥
B．选中的产品是一等品的概率为eq \f(7,10)
C．选中的产品是丙厂生产的二等品的概率为eq \f(1,15)
D．选中的产品是丙厂生产的产品与选中的产品是二等品相互独立
4．[2023·河南省五市高三二模]设A，B是两个随机事件，且A发生B必定发生，0A．P(A＋B)＝P(A) B．P(A|B)＝eq \f(P（B）,P（A）)
C．P(A＋B)＝P(B) D．P(AB)＝P(B)
5．[2023·黑龙江省哈尔滨市高三二模]已知随机变量X，Y分别满足X～B(8，p)，Y～N(μ，σ2)，且期望E(X)＝E(Y)，又P(Y≥3)＝eq \f(1,2)，则p＝( )
A．eq \f(1,8) B．eq \f(1,4)C．eq \f(3,8) D．eq \f(5,8)
6．[2023·新疆乌鲁木齐市高三检测]魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图)，在注中，刘徽对“牟合方盖”有以下的描述：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆囷，径二寸，高二寸．又复横规之，则其形有似牟合方盖矣．八棋皆似阳马，圆然也．按合盖者，方率也．丸其中，即圆率也．”牟合方盖的发现有着重大的历史意义．通过计算得知正方体内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.若在该正方体内任取一点，则此点取自“牟合方盖”内的概率是________．
7．[2023·河南省安阳市高三二模]学校给每位教师随机发了一箱苹果，李老师将其分为两份，第1份占总数的40%，次品率为5%，第2份占总数的60%，次品率为4%.若李老师分份之前随机拿了一个发现是次品后放回，则该苹果被分到第1份中的概率为________．
8．[2023·江西省鹰潭市高三二模]冬奥会设有冬季两项、雪车、冰壶、雪橇、滑冰、滑雪、冰球7个大项，现有甲、乙、丙三名志愿者，设A表示事件为“甲不是雪车项目的志愿者，乙不是雪橇项目的志愿者”，B表示事件为“甲、乙、丙分别是三个不同项目的志愿者”，则P(A|B)＝________．
9．[2023·黑龙江省实验中学高三二模]在一次数学随堂小测验中，有单项选择题和多项选择题两种．单项选择题，每道题四个选项中仅有一个正确，选择正确得5分，选择错误得0分；多项选择题，每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分．
(1)小明同学在这次测验中，如果不知道单项选择题的答案就随机猜测．已知小明知道单项选择题的正确答案的概率是eq \f(2,3)，随机猜测的概率是eq \f(1,3)，问小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他知道这道单项选择题正确答案的概率．
(2)小明同学在做多选题时，选择一个选项的概率为eq \f(1,5)，选择两个选项的概率为eq \f(2,5)，选择三个选项的概率为eq \f(2,5).已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为X，求X的分布列及数学期望．
10．[2023·安徽省九师联盟二模]现在世界正处于百年未见之大变局，我国面临着新的考验，为增强学生的爱国意识和凝聚力，某学校高二年级组织举办了“中国国情和当今世界局势”的知识对抗竞赛，主要是加深对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得的成就和最新世界经济、政治时事的了解．组织者按班级将参赛人员随机分为若干组，每组均为两名选手，每组对抗赛开始时，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等．比赛得分规则为：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分；选手抢到试题但回答错误或没有回答得0分，对方选手得5分；2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲、乙两名选手被分在同一组进行对抗赛，每道试题甲回答正确的概率为eq \f(2,3)，乙回答正确的概率为eq \f(4,5)，两名选手回答每道试题是否正确相互独立.2道试题抢答后的各自得分作为两位选手的个人总得分．
(1)求乙总得分为10分的概率；
(2)记X为甲的总得分，求X的分布列和数学期望．
11.[2023·新疆乌鲁木齐市高三检测]2022年的男足世界杯在卡塔尔举办，参赛的32支球队共分为8个小组，每个小组有4支球队，小组赛采取单循环赛制，即每支球队都要和同组的其他3支球队各比赛一场．每场比赛获胜的球队积3分，负队积0分．若打平则双方各积1分，三轮比赛结束后，积分从多到少排名靠前的2支球队小组出线(如果积分相等，还要按照其他规则来排名).已知甲、乙、丙、丁4支球队分在同一个组，且甲队与乙、丙、丁3支球队比赛获胜的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，与三支球队打平的概率均为eq \f(1,4)，每场比赛的结果相互独立．
(1)某人对甲队的三轮小组赛结果进行了预测，他认为三场都会是平局，记随机变量X＝“结果预测正确的场次”，求X的分布列和数学期望；
(2)假设各队先后对阵顺序完全随机，记甲队至少连续获胜两场的概率为p，那么甲队在第二轮比赛对阵哪个对手时，p的取值最大，这个最大值是多少？
12．[2023·八省市新高考适应性考试]一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．
课时作业14 概率、随机变量及其分布列
1．解析：∵P（A）＝1－P（eq \(A,\s\up6(－))）＝1－eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，∴P（AB）＝P（A）P（B）＝eq \f(1,9)≠0，∴事件A与B相互独立、事件A与B不互斥，故不对立．故选C.
答案：C
2．解析：对于A：两个球都是红球的概率为eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6)，故A正确；
对于B：两个球中恰有1个红球的概率为eq \f(1,3)×（1－eq \f(1,2)）＋（1－eq \f(1,3)）×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，故B正确；
对于C：两个球不都是红球的对立事件为两个球都是红球，所以概率为1－eq \f(1,6)＝eq \f(5,6)，故C错误；
对于D：至少有1个红球包含两个球都是红球、两个球中恰有1个红球，所以概率为eq \f(1,6)＋eq \f(1,2)＝eq \f(2,3)，故D正确．故选C.
答案：C
3．解析：对于A项，“选中的产品是甲厂的一等品”记为事件A，“选中的产品是乙厂的二等品”记为事件B，则AB＝∅，所以选中的产品是甲厂的一等品与选中的产品是乙厂的二等品互斥，故A项正确；对于B项，选中的产品是一等品的概率为eq \f(60＋70＋80,300)＝eq \f(7,10)，故B项正确；对于C项，选中的产品是丙厂生产的二等品的概率为eq \f(100－80,300)＝eq \f(1,15)，故C项正确；对于D项，“选中的产品是丙厂生产的产品”记为事件C，“选中的产品是二等品”记为事件D，则P（C）＝eq \f(100,300)＝eq \f(1,3)，由B项知，P（D）＝1－eq \f(7,10)＝eq \f(3,10)，由C项知，P（CD）＝eq \f(1,15)，所以P（CD）≠P（C）P（D），所以选中的产品是丙厂生产的产品与选中的产品是二等品不互相独立，故D项不成立．故选D.
答案：D
4．解析：由A，B是两个随机事件，且A发生B必定发生，知：A⊆B，即A＋B＝B，A∩B＝A，所以P（A＋B）＝P（B），P（AB）＝P（A），P（A|B）＝eq \f(P（AB）,P（B）)＝eq \f(P（A）,P（B）)，A、B、D错，C对．故选C.
答案：C
5．解析：由题意知X～B（8，p），Y～N（μ，σ2），E（X）＝E（Y），故8p＝μ，由P（Y≥3）＝eq \f(1,2)，知μ＝3，故8p＝3，∴p＝eq \f(3,8).故选C.
答案：C
6．解析：设正方体的棱长为2a，则该正方体内切球半径为a，令“牟合方盖”的体积为V，于是eq \f(\f(4π,3)a3,V)＝eq \f(π,4)，解得V＝eq \f(16,3)a3，而正方体的体积为（2a）3，
所以在该正方体内任取一点，此点取自“牟合方盖”内的概率是eq \f(V,（2a）3)＝eq \f(\f(16,3)a3,8a3)＝eq \f(2,3).
答案：eq \f(2,3)
7．解析：设事件B为“拿的苹果是次品”，Ai（i＝1，2）为“拿的苹果来自第i份”，则P（A1）＝0.4，P（B|A1）＝0.05，P（A2）＝0.6，P（B|A2）＝0.04，所以P（B）＝P（A1）P（B|A1）＋P（A2）P（B|A2）＝0.4×0.05＋0.6×0.04＝0.044，所求概率为P（A1|B）＝eq \f(P（BA1）,P（B）)＝eq \f(P（A1）P（B|A1）,P（B）)＝eq \f(0.4×0.05,0.044)＝eq \f(5,11).
答案：eq \f(5,11)
8．解析：P（A|B）＝eq \f(P（AB）,P（B）)，
P（AB）表示A事件与B事件同时发生的概率，
冬奥会设有7个大项，有甲、乙、丙三名志愿者，则每人可有7种选择，共有73种选择，
对B事件：
若甲、乙、丙分别是三个不同项目的志愿者，则P（B）＝eq \f(A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) ,73)＝eq \f(30,49)，
对于AB事件：
若甲、乙、丙分别是三个不同项目的志愿者，甲不是雪车项目的志愿者，乙不是雪橇项目的志愿者，
甲不能选雪车，则甲有6种选法，乙有6种选法，丙有5种选法，共6×6×5种，
但甲不选雪橇，则乙就有可能选雪橇，则要减去乙选雪橇，甲从剩下的5种选，丙依然有5种选择，共5×5种，
则P（AB）＝eq \f(6×6×5－5×5,73)＝eq \f(155,73)，
则P（A|B）＝eq \f(P（AB）,P（B）)＝eq \f(31,42).
答案：eq \f(31,42)
9．解析：（1）记事件A为“该单项选择题回答正确”，事件B为“小明知道该题的正确答案”，
P（A）＝P（B）P（A|B）＋P（eq \(B,\s\up6(－))）P（A|eq \(B,\s\up6(－))）＝eq \f(2,3)×1＋eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(3,4)，
P（AB）＝P（B）P（A|B）＝eq \f(2,3)×1＝eq \f(2,3)，P（B|A）＝eq \f(P（AB）,P（A）)＝eq \f(8,9)，
即小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，他知道这道单项选择题正确答案的概率为eq \f(8,9).
（2）由题意知：X所有可能的取值为0，2，5，
设事件Ai表示小明选择了i个选项，事件C表示选择的选项是正确的，
P（X＝2）＝P（A1C）＋P（A2C）＝eq \f(1,5)×eq \f(3,4)＋eq \f(2,5)×eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) )＝eq \f(7,20)，
P（X＝5）＝P（A3C）＝eq \f(2,5)×eq \f(1,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) )＝eq \f(1,10)，
P（X＝0）＝1－P（X＝2）－P（X＝5）＝eq \f(11,20).
∴X的分布列为：
则数学期望为E（X）＝0×eq \f(11,20)＋2×eq \f(7,20)＋5×eq \f(1,10)＝eq \f(6,5).
10．解析：（1）由题意，乙得10分的基本事件有{乙抢到两题且一道正确一道错误或没有回答}、{甲、乙各抢到一题都回答正确}、{甲抢到两题都回答错误或没有回答}，
所以乙总得分为10分的概率P＝2×eq \f(1,2)×eq \f(4,5)×eq \f(1,2)×eq \f(1,5)＋2×eq \f(1,2)×eq \f(4,5)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(337,900).
（2）由题意得，甲的总得分X可能取值为0，5，10，15，20，
P（X＝0）＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(4,5)＋eq \f(1,2)×eq \f(4,5)×eq \f(1,2)×eq \f(4,5)＝eq \f(289,900)，
P（X＝5）＝2×eq \f(1,2)×eq \f(1,5)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,2)×eq \f(4,5)×eq \f(1,2)×eq \f(1,5)＝eq \f(17,150)，
P（X＝10）＝2×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,5)×eq \f(1,2)×eq \f(1,5)＋2×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(4,5)＝eq \f(349,900)，
P（X＝15）＝2×eq \f(1,2)×eq \f(1,5)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,15)，
P（X＝20）＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,9).
分布列如下：
所以E（X）＝0×eq \f(289,900)＋5×eq \f(17,150)＋10×eq \f(349,900)＋15×eq \f(1,15)＋20×eq \f(1,9)＝eq \f(23,3).
11．解析：（1）由于甲队每场比赛平局的概率都是eq \f(1,4)，所以甲队三场比赛打平的场次，即随机变量X服从二项分布，由题意得X～B（3，eq \f(1,4)），其分布列如下：
P（X＝0）＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(3)＝eq \f(27,64)，
P（X＝1）＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(27,64)，
P（X＝2）＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(1)＝eq \f(9,64)，
P（X＝3）＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(0)＝eq \f(1,64)，
数学期望E（X）＝3×eq \f(1,4)＝eq \f(3,4).
（2）由已知得不同的对阵情况共有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝6种，每种可能性出现的概率均为eq \f(1,6).
设甲队第二轮对阵乙队至少连续获胜两场的概率为p1，甲队第二轮对阵丙队至少连续获胜两场的概率为p2，甲队第二轮对阵丁队至少连续获胜两场的概率为p3，则
p1＝eq \f(1,6)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1＋eq \f(1,6)×eq \f(1,4)×eq \f(1,2)×1＋eq \f(1,6)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,6)×eq \f(3,4)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,12)；
p2＝eq \f(1,6)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×1＋eq \f(1,6)×eq \f(1,4)×eq \f(1,3)×1＋eq \f(1,6)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,6)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(5,72)；
p3＝eq \f(1,6)×eq \f(1,2)×eq \f(1,4)×1＋eq \f(1,6)×eq \f(1,3)×eq \f(1,4)×1＋eq \f(1,6)×eq \f(2,3)×eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)×eq \f(1,2)×eq \f(1,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,18)；
因为p1>p2>p3，所以甲队在第二轮对阵乙队时，p的取值最大，最大值为eq \f(1,12).
12．解析：（1）设部件1，2，3需要调整分别为事件A，B，C.
则P（A）＝0.1，P（B）＝0.2，P（C）＝0.3且A，B，C彼此相互独立，
记部件1，2都不需要调整为事件D，则P（D）＝P（eq \x\t(A)eq \x\t(B)）＝P（eq \x\t(A)）P（eq \x\t(B)）＝（1－0.1）（1－0.2）＝0.72.
故部件1，2中至少有1个需要调整的概率为P＝1－P（D）＝1－0.72＝0.28.
（2）依题意X＝0，1，2，3.则
P（X＝0）＝P（eq \x\t(A)eq \x\t(B)eq \x\t(C)）＝P（eq \x\t(A)）P（eq \x\t(B)）P（eq \x\t(C)）＝0.9×0.8×0.7＝0.504，
P（X＝1）＝P（Aeq \x\t(B)eq \x\t(C)）＋P（eq \x\t(A)Beq \x\t(C)）＋P（eq \x\t(A)eq \x\t(B)C）＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.398.
P（X＝3）＝P（ABC）＝0.1×0.2×0.3×＝0.006.
P（X＝2）＝1－P（X＝0）－P（X＝1）－P（X＝3）＝0.092.
故X的分布列为
E（X）＝0×0.504＋1×0.398＋2×0.092＋3×0.006＝0.6.
A基础达标
B素养提升
X
0
2
5
P
eq \f(11,20)
eq \f(7,20)
eq \f(1,10)
X
0
5
10
15
20
P
eq \f(289,900)
eq \f(17,150)
eq \f(349,900)
eq \f(1,15)
eq \f(1,9)
X
0
1
2
3
P
eq \f(27,64)
eq \f(27,64)
eq \f(9,64)
eq \f(1,64)
X
0
1
2
3
P
0.504
0.398
0.092
0.006