统考版2024高考数学二轮专题复习专题四统计与概率第2讲概率随机变量及其分布列理

这是一份统考版2024高考数学二轮专题复习专题四统计与概率第2讲概率随机变量及其分布列理，共16页。试卷主要包含了古典概型的概率公式，几何概型的概率公式，独立重复试验、二项分布等内容，欢迎下载使用。
1．古典概型的概率公式
P(A)＝＝.
2．几何概型的概率公式
P(A)＝
.
例 1 (1)[2022·全国甲卷]从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )
A． B． C． D．
（2）[2023·全国乙卷]设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{（x，y）|1≤x2＋y2≤4}内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于 eq \f(π,4) 的概率为（ ）
A． eq \f(1,8) B． eq \f(1,6) C． eq \f(1,4) D． eq \f(1,2)
归纳总结
1．求古典概型的两个关键点
一是会利用排列、组合与两个基本计数原理求样本空间所含的基本事件数n以及事件A所含的基本事件数m；二是会运用古典概型的概率公式P(A)＝求事件A发生的概率．
2．解几何概型的步骤
(1)“定变量”，根据事件发生的过程确定事件中的相关变量，确定变量的取值范围；
(2)“观图形”，根据变量的取值范围，画出基本事件所包含的图形和所求事件对应的图形；
(3)“求度量”，根据图形的直观性，结合变量的取值范围，求出相应图形的几何度量；
(4)“求概率”，把所求得的几何度量代入几何概型的概率计算公式，即可求出概率．
提醒 对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
对点训练
1.[2021·全国甲卷]将4个1和2个0随机排成一行，则2个0 不相邻的概率为( )
A． B． C． D．
2．[2021·全国乙卷]在区间(0，1)与(1，2)中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为( )
A．B．C．D．
考点二 相互独立事件和独立重复试验——正难则反
1．条件概率
在A发生的条件下B发生的概率：
P(B|A)＝.
2．相互独立事件同时发生的概率
P(AB)＝P(A)P(B)．
3．独立重复试验、二项分布
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2…，n.
例 2 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．
归纳总结
求相互独立事件的概率的两种方法
对点训练
[2023·山东济宁联考]为吸引顾客，某商场举办购物抽奖活动．抽奖规则是：从装有2个白球和3个红球(小球除颜色外，完全相同)的抽奖箱中，每次摸出一个球，不放回地依次摸取两次，记为一次抽奖．若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖．下列随机事件的概率错误的是( )
A．某顾客抽奖一次中奖的概率是
B．某顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是
C．在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是
D．在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是
考点三 离散型随机变量的分布列、均值与方差——综合各类概率，活用分布模型
离散型随机变量的均值与方差
(1)均值与方差的性质
①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
②D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为实数)．
(2)两点分布与二项分布的均值、方差
①若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
例 3[2023·辽宁大连测试]某校辩论队计划在周六、周日各参加一场辩论赛，分别由正、副队长负责，已知该校辩论队共有10位成员(包含正、副队长)，每场比赛除负责人外均另需3位队员(同一队员可同时参加两天的比赛，正、副队长只能参加一场比赛)．假设正、副队长分别将各自比赛通知的信息独立、随机地发给辩论队8名队员中的3位，且所发信息都能收到．
(1)求辩论队员甲收到正队长或副队长所发比赛通知信息的概率；
(2)记辩论队收到正队长或副队长所发比赛通知信息的队员人数为随机变量X，求X的分布列及其数学期望．
归纳总结
计算期望与方差的基本方法
(1)已知随机变量的概率分布求它的期望、方差和标准差，可直接用定义或公式求．
(2)已知随机变量X的期望、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的期望、方差和标准差，可直接用期望及方差的性质求．
(3)若能分析出所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，则可直接利用它们的期望、方差公式来求．
对点训练
[2023·陕西省榆林市高三模拟]推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择．某社区开展有关垃圾分类的知识测试．已知测试中有A，B两组题，每组都有4道题目，甲对A组其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道题做对的概率为 eq \f(2,3) ，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为 eq \f(1,4) .甲对B组每道题做对的概率为0.6，甲可以选择从A组中任选2道题或从B组中任选2道题．
（1）若甲选择从A组中任选2道题，设X表示甲答对题目的个数，求X的分布列和期望；
（2）以答对题目数量的期望为依据，判断甲应该选择哪组题答题．
考点四 概率与统计的综合应用——准确审题，数据分析
概率与统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，掌握此类问题的解题策略，在高考中才能游刃有余．
角度1概率与统计图表的交汇问题
例 4 [2023·江西省赣州市兴国县高三测试]随着《2023年中国诗词大会》在央视持续热播，它将经典古诗词与新时代精神相结合，使古诗词绽放出新时代的光彩，由此，它极大地鼓舞了人们学习古诗词的热情，掀起了学习古诗词的热潮．某校为了了解高二年级全部1 000名学生学习古诗词的情况，举行了“古诗词”测试，现随机抽取100名学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．
（1）根据频率分布直方图，估计这100名学生测试成绩的平均数（单位：分）；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
（2）若该校高二学生“古诗词”的测试成绩X近似服从正态分布N（μ，169），其中μ近似为样本平均数，规定“古诗词”的测试成绩不低于87分的为“优秀”，据此估计该校高二年级学生中成绩为优秀的人数；（取整数）
（3）现该校为迎接该省的2023年第三季度“中国诗词大会”的选拔赛，在五一前夕举行了一场校内“诗词大会”．该“诗词大会”共有三个环节，依次为“诗词对抗赛”“画中有诗”“飞花令车轮战”，规则如下：三个环节均参与，在前两个环节中获胜得1分，第三个环节中获胜得4分，输了不得分．若学生甲在三个环节中获胜的概率依次为 eq \f(4,5) ， eq \f(5,7) ， eq \f(1,2) ，假设学生甲在各环节中是否获胜是相互独立的．记学生甲在这次“诗词大会”中的累计得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）.
参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ－σ