余弦定理与正弦定理PPT课件免费下载

北师大版 (2019)高中数学必修 第二册课文《余弦定理与正弦定理》,完整版PPT课件免费下载，优秀PPT背景图搭配，精美的免费ppt模板。轻松备课，欢迎免费下载使用。

一、【学习目标】

1.通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发 现余弦定理与正弦定理，并了解其向量证法；（难点）2.掌握余弦定理与正弦定理，并能运用其解三角 形.（重点）

二、【课程的主要内容】

问题提出 三角形中边角关系很丰富，本节继续研究.如已知两边及其夹角，怎么求出此角的对边呢?已知三条边，又怎么求出它的三个角呢?
余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他 两边的平方和减去这两边与它们 夹角余弦的积的两倍，即
a2=b2+c2-2bccsAb2=a2+c2-2accsBc2=a2+b2-2abcsC
利用余弦定理，可以由三角形的三条边，求出它三个角的大小.
例1：如图，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点是O.甲、乙两人同时从点O分别沿OA，OC方向出发，速度分别是4 km/h，4. 5 km/h. 3 h后两人相距多远?(精确到0.1km)
解：经过3 h，甲到达点P，|OP|=4×3=12(km)， 乙到达点Q，|OQ|=4.5×3=13.5(km).
解：因此，3 h后两人相距约16.4 km.
所以∠DAB≈80°.
对等边三角形，这个等式无疑也成立；对其他三角形，它是否仍然成立呢?
因此，对锐角三角形，以上等式仍然成立.
探究：当△ABC是钝角三角形时，以上等式是否仍然成立？
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对 角的正弦的比相等，即
运用由特殊到一般的方法发现了正弦定理，这种思想方法经常用于发现客观规律.
例4：某地出土一块古代玉佩(如图)，其一角已破损，现测得如下数据：BC=2.57 cm，CE=3. 57 cm，BD=4.38 cm，B=450，C=120°.为了复原，请计算原玉佩另两边的长.(精确到0. 01 cm)
例4：某地出土一块古代玉佩(如图)，其一角已破损，现测得如下数据：BC=2.57 cm，CE=3. 57 cm，BD=4.38 cm，B=45°，C=120°.为了复原，请计算原玉佩另两边的长.(精确到0. 01 cm)
解：将BD，CE分别延长相交于点A(如图)，在△ABC中，BC=2.57 cm，B=45°，C=120°，
A=180°-(B+C)=180°- (45°+120°)=15°.
解：同理AB≈8.60(cm).因此，原玉佩另两边的长分别约为7.02 cm，8.60 cm.

三、【思考与探究】

思考 对于钝角三角形(如图(2))、锐角三角形(如图(3))，上述结论还成立吗?
例6：台风中心位于某市正东方向300 km处，正以40 km/h的速度向西北方向移动，距离台风中心250 km范围内将会受其影响.如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响?这种影响持续多长时间?(精确到0. 1 h)
解：如图，设台风中心从点B向西北方向沿射线BD移动，该市位于点B正西方向300 km处的点A.
解：假设经过t h，台风中心到达点C.在△ABC中，AB=300 km， AC=250 km，BC=40t km，B=45°.
解：所以角C有两个解(如图①)：∠AC1B≈121.95°，∠AC2B≈58.05°.
解：当∠AC1B≈121.95°时，∠C1AB=180°-(B+∠ AC1B)≈180°-(45°+121.95°)=13.05°.
解：因此，约2h后将要遭受台风影响，持续约6.6 h.
思考： 已知两条边的边长和其中一条边的对角的大小解三角形，它的解有几种情况？
正弦定理、余弦定理是两个重要定理，在解决与三角形有关的几何计算问题中有着广泛的应用.
用正弦定理、余弦定理解三角形
在三角形的三条边和三个角这6个元素中，如果已知3个(至少含一边长)，那么由余弦定理和正弦定理，就可以求得其他3个元素.具体情形如下:
情形1：已知两个角的大小和一条边的边长. 先由三角形内角和等于180°求出第三个角的大小，然后依据正弦定理求得另外两条的边长.
情形2：已知两条边的边长及其夹角的大小. 先由余弦定理求出第三条边的边长，然后再由余弦定理求得第二、第三个角的大小.
情形3：已知三条边的边长. 由余弦定理求出两个角，再利用三角形内角和等于180°求出第三个角.
情形4：已知两条边的边长和其中一边对角的 大小. 首先，由正弦定理求出第二条边所对角的正弦，这时，要判断是两解、一解还是无解.然后，根据三角形内角和等于180°得到第三个角的大小.最后，由余弦定理或正弦定理求得第三条边的边长.
例7：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，AC=9，∠BCA=30°，∠ADB=45°，求∠BAD的正弦值和BD的长.
分析：观察到BD为△BDC和△ABD的公共边，由于△BDC中已知量较少，故考虑通过解△ABD求出BD的长.
分析：在△ABD中已知边AB的长及其所对角∠ADB的度数，故只需要求出∠BAD的正弦值，就可以利用正弦定理求出BD的长.
分析：我们发现∠ABC与∠BAD互补，而∠ABC所在的△ABC中已知两边及其中一边的对角，可以由正弦定理求出∠ABC的正弦值，再由∠BAD与∠ABC互补的条件，求出∠BAD的正弦值，进而求出BD的长.
解：机器人最快截住足球的地方是机器人与足球同时到达的地方.如图(2)，设该机器人最快可在点C处截住足球，BC=x dm，由题意，CD=2x dm，AC=AD-CD=(17-2x)dm.
解：因此，该机器人最快可在线段AD上离点A处7 dm的点C处藏住足球.

四、【拓展学习】

例10：自动卸货汽车采用液压机构(如图).设计时需要计算油泵顶杠BC的长度，已知车厢的最大仰角为60°(指车厢AC与水平线之间的夹角).油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95 m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1.40 m.计算BC的长度.(精确到0.01 m)
例10：已知车厢的最大仰角为60°(指车厢AC与水平线之间的夹角).油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95 m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1.40 m.计算BC的长度.(精确到0.01 m)
解：如图，在△ABC中，AB= 1.95 m，AC=1.40 m，∠BAC=60°+ 6°20′=66°20′.
解：由余弦定理，得BC2=AB2+AC2=2AB·ACcsA=1.952+1.402-2×1.95×1.40cs66°20′≈3.571.
解：∴BC≈1.89 (m)
例11：如图，C，D两点相距12 m，与烟囱底部A在同一水平直线上，利用高为1.5 m的测角仪器，测得烟囱在点C1，D1，的仰角分别是α=45°和β=60°.计算烟囱的高AB(精确到0.01 m).
例11：如图，C，D两点相距12 m，与烟囱底部A在同一水平直线上，利用高为1.5 m的侧角仪器，测得烟囱在点C1，D1，的仰角分别是α=45°和β=60°.计算烟囱的高AB(精确到0.01 m).
解：如图，在△BC1D1中，∠BD1C1=180°-60°=120°，∠C1BD1=60°-45°=15°，C1D1=CD=12.
例12:如图(1)，直线a表示海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在点A的正东方20 km处和54 km处.某时刻，监侧点B收到发自静止目标P的一个声波，监测点A，C分别在8 s和20 s后相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设PA=x km，用x分别表示PB，PC，并求x的值；(2)求静止目标P到海防 警戒线a的距离.(精确到0.01 km)
例12:如图(1)，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在点A的正东方20 km处和54 km处.某时刻，监侧点B收到发自静止目标P的一个声波，监测点A，C分别在8 s和20 s后相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设PA=x km，用x分别表示PB，PC，并求x的值；
解:(1)依题意，PA- PB=1.5×8=12(km)，PC-PB=1.5×20=30(km)，因此PB=(x-12)km，PC=(18+x)km.
解:(1) 在△PAB中，AB=20 km，
由cs∠PAB=cs∠PAC，
例12:如图(1)，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在点A的正东方20 km处和54 km处.某时刻，监侧点B收到发自静止目标P的一个声波，监测点A，C分别在8 s和20 s后相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离.(精确到0.01 km)
解:(1) 如图(2)，过点P作a的垂线，垂足为D，在Rt△PDA中，PD=PAcs∠APD=PAcs∠PAB
因此，静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71 km.