2020-2021学年第二章 数列综合与测试同步训练题

答案：解：（Ⅰ）由题意得     ，则

         所以…………………………………3分

         又  所以……………………………………5分

（Ⅱ）因为

所以……8分

   则

所以得……11分

所以使成立的的最大值为9. …12分

设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前n项和

答案：解：（1）：当……………………………………………………1分

……………………………3分

故{an}的通项公式为的等差数列.………………5分

设{bn}的通项公式为

故……………………7分

（II）………………………………………………9分

………………11分

两式相减得

………14分

（本小题12分）已知数列是等差数列，；数列的前n项和是，且．

   （Ⅰ）求数列的通项公式； 

   （II）求证：数列是等比数列；

   （Ⅲ）记，求的前n项和．

答案：解：（Ⅰ）设的公差为，则：，，

∵，，∴，∴．    ……………………2分∴．                         ……………………4分

（II）当时，，由，得．       ……………………5分

当时，，，

∴，即．       …………………………7分

   ∴．                                   

∴是以为首项，为公比的等比数列．         ………………………8分

（Ⅲ）由（2）可知：．            ………………………9分

∴．        …………………10分

∴．

∴．

∴

．                    …………………………13分

∴．                     …………………………14分

数列{an}中，a1=8，a4=2，且满足an+2－2an+1+an=0（n∈N*）．

 （1）求数列{an}的通项公式．

 （2）设bn=（n∈N*），Sn=b1+b2+…+bn，求Sn

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5=9，S10=100．

 （1）求通项an；

 （2）记数列的前n项和为Tn，数列的前n项和为Un．求证：Un<2．

答案：解：（1）a5=a1+4d=9

 S10=10a1+=100，

 解得a1=1，d=2，      ……………………………………………4分

an=a1+（n-1）d=2n-1；   ……………………………………………6分

（2）Sn=,,Tn=,…………………………8分

Sn+1-Tn+1=（n+1）2-=．

,  ……………………………10分

Un=2[]=2（）<2．

 ……………………………………………12分

已知在等比数列中，，且是和的等差中项.

（I）求数列的通项公式；

（II）若数列满足，求的前项和.

答案：解：（I）设等比数列的公比为         是和的等差中项

          ……………………………………….2分        

                     ………………………………………4分

        ………………………………………6分

        （II）

        . ……….8分

………..9分

                       ……….11分

                                              ....……13分

在等比数列中，，且，是和的等差中项.

（I）求数列的通项公式；

（II）若数列满足（），求数列的前项和.

答案：解：（I）设等比数列的公比为.

由可得，           ……………………………………1分

因为，所以                        ……………………………………2分

依题意有，得  ……………………………………3分

因为，所以，                  …………………………………………..4分

所以数列通项为               ………………………………………...6分

（II）            ………………………………………....8分

可得   ….......12分

                           ………………………………….... 13分

设为等比数列，且其满足：．

   （1）求的值及数列的通项公式；

   （2）已知数列满足，求数列的前n项和．

18解：解（1）n=1时，

 时，

 ∵为等比数列　　　∴∴

   ∴的通项公式为              （6分）

   （2）      ①[    ②

 ②-①得

 ∴    

已知为等比数列，且

（1）若，求；（2）设数列的前项和为，求.

答案 解：设，由题意，解之得，进而

（1）由，解得             ………3分

（2）

                          ………3分

已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.

 （I）求数列的通项；       

（II）记，求数列的前项和

答案  解：设公差为，则：

解得：

已知数列是等差数列，

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前n项和Sn.

答案 22．解（1）

　（2）

（16分）已知数列是等差数列，

   （1）判断数列是否是等差数列，并说明理由；]

   （2）如果，试写出数列的通项公式；

   （3）在（2）的条件下，若数列得前n项和为，问是否存在这样的实数，使当且仅当时取得最大值。若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

答案24．解：（1）设的公差为，则

 数列是以为公差的等差数列…………4分

   （2）

 两式相减：

 …………6分

 …………8分

 …………10分

   （3）因为当且仅当时最大

 …………12分

 即

 …………15分

已知数列的前项和为．

    （Ⅰ）求证：数列为等差数列，并分别求出的表达式；

（Ⅱ）设数列的前项和，试求的取值范围．

解（Ι）由得，

所以，数列是以1为首项，公差为4的等差数列．………3分

    ……………………………………………………6分

（Ⅱ）

………9分

又易知单调递增的，故

，即的范围是．    ………………………………………12分

已知数列 的各项均为正数， 为其前 项和，对于任意的 满足关系式

（1）求数列 的通项公式；

（2）设数列的通项公式是 ，前 项和为  ，求证：对于任意的正数，总有．

已知是一个公差大于0的等差数列，且满足.

　　（Ⅰ）求数列的通项公式；

　　（Ⅱ）令，记数列的前项和为，对于任意的，不等式恒成立，求实数的最小值.

m的最小值为100                         ……12分

设数列的前项和为.已知，，。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）记为数列的前项和，求；

答案】（Ⅰ）由题意，，则当时，.

两式相减，得（）.     ……………………………………………2分

又因为，，，……………………………………………4分

所以数列是以首项为，公比为的等比数列，……………………5分

所以数列的通项公式是（）.  ………………………………6分

（Ⅱ）因为，

   ………………………………12分

（本题满分13分）已知数列是一个等差数列，且，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，求数列的前n项和．

【答案】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，

由已知条件得 ，

解得 ，．……………………4分

所以．    ……………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．

所以==．………………10分

所以==．

即数列的前n项和=．       ……………………13分

在等差数列中，，其前项和为，等比数列 的各项均为正数，，公比为，且，.

（1）求与；（2）设数列满足，求的前项和.

【答案】解:（1）设的公差为.

因为所以

解得 或（舍），.

故 ，.          

（2）由（1）可知，，

所以.

故

(本题满分12分)数列的前项的和为,对于任意的自然数，

（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求通项公式

（Ⅱ）设，求和

【答案】解 ：（1）令------------------1分

  （2）-(1) 

     --------------------------3分

是等差数列 ------------------------5分

----------------------------6分

（2）

---①---------------------8分

---②

①-②  ----------10分

所以        -------------------------------12分