2020-2021学年1.4 三角函数的图象与性质同步测试题

1.4 第2课时 正弦余弦函数的性质

一、选择题

1．函数y＝5sin的最小正周期是(　　)

A.π　 　  B.π　 　

C.　　　  D．5π

[答案]　D

[解析]　T＝＝5π.

2．函数y＝sin在(　　)

A.上是增函数

B.上是增函数

C．[－π，0]上是增函数

D.上是增函数

[答案]　B

[解析]　由2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z得，

2kπ－π≤x≤2kπ＋，令k＝0得B正确．

3．下列函数中是偶函数的是(　　)

A．y＝sin2x   B．y＝－sinx

C．y＝sin|x|   D．y＝sinx＋1

[答案]　C

[解析]　A、B是奇函数，D是非奇非偶函数，C符合f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，

∴y＝sin|x|是偶函数．

4．函数y＝的周期是(　　)

A．2π     B．π 

C.     D.

[答案]　C

[解析]　T＝·＝.

5．(2010·重庆文，6)下列函数中，周期为π，且在[，]上为减函数的是(　　)

A．y＝sin(2x＋) 

B．y＝cos (2x＋)

C．y＝sin(x＋) 

D．y＝cos(x＋)

[答案]　A

[解析]　选项A：y＝sin(2x＋)＝cos2x，周期为π，在[，]上为减函数；

选项B：y＝cos(2x＋)＝－sin2x，周期为π，在[，]上为增函数；

选项C：y＝sin(x＋)＝cosx，周期为2π；

选项D：y＝cos(x＋)＝－sinx，周期为2π.故选A.

6．已知f(x)＝x·sinx，x∈R，则f，f(1)及f的大小关系为(　　)

A．f>f(1)>f

B．f(1)>f>f

C．f>f(1)>f

D．f>f>f(1)

[答案]　C

[解析]　∵f(x)为偶函数，∴f＝f，

∵f(x)在上为增函数，且>1>，

∴f>f(1)>f＝f，故选C.

7．已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x<3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cosx<0的解集是(　　)

A．(－3，－)∪(0,1)∪(，3)

B．(－，－1)∪(0,1)∪(，3)

C．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)

D．(－3，－)∪(0,1)∪(1,3)

[答案]　B

[解析]　f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1,3)，f(x)<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)，

当x∈(－3,3)时，cosx>0的解集为(－，)，cosx<0的解集为(－3，－)∪(，3)，

∴f(x)·cosx<0的解集为

(－，－1)∪(0,1)∪(，3)．

8．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝，则f的值等于(　　)

A．1     B. 

C．0     D．－

[答案]　B

[解析]　f＝f

＝f＝sinπ＝.

二、填空题

9．函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．

[答案]　(－π，0]

[解析]　∵y＝cosx在[－π，0]上是增函数，

在[0，π]上是减函数，

∴只有－π<a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]．

10．f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在区间上的最大值是，则ω＝________.

[答案]　

[解析]　函数f(x)的周期T＝，

因此f(x)＝2sinωx在上是增函数，

∵0<ω<1，∴，

∴f(x)在上是增函数，

∴f＝，即2sin＝，

∴ω＝，∴ω＝.

11．已知函数f(x)＝2cos－5的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值是________．

[答案]　13

[解析]　∵T＝＝≤2，∴k≥4π＝12.56，

∴k的最小值是13.

12．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．

[答案]　6

[解析]　∵1<<3，∴<ω<2π，

∴正整数ω的最大值是6.

三、解答题

13．求下列函数的最大值和最小值．

(1)y＝；

(2)y＝3＋2cos.

[解析]　(1)∵，∴－1≤sinx≤1.

∴当sinx＝－1时，ymax＝；

当sinx＝1时，ymin＝.

(2)∵－1≤cos≤1

∴当cos＝1时，ymax＝5；

当cos＝－1时，ymin＝1.

14．已知函数f(x)＝sin，其中k≠0，当自变量x在任何两个整数间(包括整数本身)变化时，至少含有一个周期，求最小正整数k的值．

[解析]　函数f(x)＝sin的周期为

T＝＝.

由题意知T≤1，即≤1，|k|≥20π≈62.8.

所以最小正整数k的值为63.

15．判断函数f(x)＝lg(sinx＋) 的奇偶性．

[解析]　∵>|sinx|，∴函数的定义域为R，

又∵f(－x)＝lg(－sinx＋)

＝lg＝－lg(sinx＋)

＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．

16．求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最值时自变量x的值．

(1)y＝－cos3x＋；

(2)y＝3sin＋1.

[解析]　(1)∵－1≤cos3x≤1，

∴当cosx＝－1，即3x＝π＋2kπ，

x＝π(k∈Z)时有，ymax＝－×(－1)＋＝2；

当cos3x＝1，即3x＝2kπ，x＝π(k∈Z)时，ymin＝－×1＋＝1.

(2)∵－1≤sin≤1，∴当sin＝1，

即2x＋＝＋2kπ，x＝＋kπ(k∈Z)时，有ymax＝3＋1＝4；当sin＝－1，即x＝π＋kπ(k∈Z)时，ymin＝3×(－1)＋1＝－2.

17．设θ是不等边三角形的最小内角，且cosθ＝，求实数a的取值范围．

[解析]　∵θ是不等边三角形的最小内角，∴0°<θ<60°.

由cosθ在内单调递减知：

<cosθ<1，即<<1.解得a<－3.

故所求实数a的范围为(－∞，－3)．

[点评]　本题容易误判θ∈(0°，90°)或用错单调性得出0<cosθ<而致误．