2021学年1.4 三角函数的图象与性质课后作业题
展开第13课时 正切函数的图象与性质
课时目标 |
1.掌握正切函数的性质，并会应用其解题．
2．了解正切函数的图象，会利用其解决有关问题．
| 识记强化 |
1．正切函数y＝tanx的最小正周期为π；y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
2．正切函数y＝tanx的定义域为，值域为R.
3．正切函数y＝tanx在每一个开区间，k∈Z内均为增函数．
4．正切函数y＝tanx为奇函数．
5．对称性：正切函数的图象关于原点对称，正切曲线都是中心对称图形，其对称中心坐标是(k∈Z)．正切函数无对称轴．
| 课时作业 |
一、选择题
1．函数y＝5tan(2x＋1)的最小正周期为( )
A. B.
C．π D．2π
答案：B
2．函数f(x)＝的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
答案：A
解析：要使函数f(x)＝ 有意义，
必须使，
即x≠kπ＋且x≠(2k＋1)π，k∈Z.
所以函数f(x)＝的定义域关于原点对称．
又因为f(－x)＝＝＝－f(x)，
所以函数f(x)＝为奇函数．故选A.
3．下列函数中，周期为π，且在上单调递增的是( )
A．y＝tan|x| B．y＝|tanx|
C．y＝sin|x| D．y＝|cosx|
答案：B
解析：画函数图象，通过观察图象，即可解决本题．
4．函数y＝tan(＋)的单调递增区间是( )
A．(－∞，＋∞)
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案：C
解析：由y＝tanx的单调递增区间为，
∴kπ－＜＋＜kπ＋，k∈Z
⇒2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z.故选C.
5．函数y＝tan的一个对称中心是( )
A．(0,0) B.
C. D．(π，0)
答案：C
解析：令x＋＝，得x＝－，k∈Z，∴函数y＝tan的对称中心是.令k＝2，可得函数的一个对称中心为.
6．已知函数y＝tanωx在内是减函数，则( )
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
答案：B
解析：∵y＝tanωx在内是减函数，∴ω<0且T＝≥π，∴－1≤ω<0.
二、填空题
7．函数y＝的定义域是________．
答案：
解析：要使函数y＝有意义，只需，k∈Z，解得x≠kπ＋且x≠kπ－，k∈Z.∴函数y＝的定义域为.
8．方程x－tanx＝0的实根有________个．
答案：无数
解析：方程x－tanx＝0的实根个数就是直线y＝x与y＝tanx的图象的交点的个数，由于y＝tanx的值域为R，所以直线y＝x与函数y＝tanx图象的交点有无数个．
9．直线y＝a(a为常数)与曲线y＝tanωx(ω为常数，且ω>0)相交的两相邻交点间的距离为________．
答案：
解析：∵ω>0，∴函数y＝tanωx的周期为，∴两交点间的距离为.
三、解答题
10．求函数y＝tan的定义域、最小正周期、单调区间和对称中心．
解：①由－≠kπ＋，k∈Z，
得x≠2kπ＋，k∈Z.
∴函数的定义域为.
②T＝＝2π，∴函数的最小正周期为2π.
③由kπ－<－<kπ＋，k∈Z，
解得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z.
∴函数的单调递增区间为，k∈Z.
④由－＝，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z.
∴函数的对称中心是，k∈Z.
11．求函数y＝＋lg(1－tanx)的定义域．
解：由题意，得，即－1≤tanx<1.
在内，满足上述不等式的x的取值范围是.
又y＝tanx的周期为π，
所以所求x的取值范围是(k∈Z)．
即函数的定义域为(k∈Z)．
| 能力提升 |
12．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)，y＝f(x)的部分图像如图所示，则f＝________.
答案：
解析：由图像知＝π－＝，T＝，ω＝2，
2×＋φ＝＋kπ，φ＝＋kπ，k∈Z.
又|φ|＜，∴φ＝.
∵函数f(x)的图像过点(0,1)，∴f(0)＝Atan＝A＝1.
∴f(x)＝tan.
∴f＝tan＝tan＝.
13．已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数的最大值和最小值；
(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数．
解：(1)当θ＝－时，f(x)＝x2－x－1＝2－.
∵x∈[－1，]，
∴当x＝时，f(x)取得最小值－，
当x＝－1时，f(x)取得最大值.
(2)f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数，它的图象的对称轴为x＝－tanθ.
∵y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，
∴－tanθ≤－1或－tanθ≥，即tanθ≥1或tanθ≤－.
又θ∈，
∴θ的取值范围是∪.
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