数学2.5 平面向量应用举例复习练习题

这是一份数学2.5 平面向量应用举例复习练习题，共4页。试卷主要包含了3.1　平面向量基本定理等内容，欢迎下载使用。

一、基础过关
1． 若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A．e1－e2，e2－e1 B．2e1＋e2，e1＋eq \f(1,2)e2
C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2
2． 下面三种说法中，正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
3． 若a、b不共线，且λa＋μb＝0(λ，μ∈R)，则( )
A．a＝0，b＝0 B．λ＝μ＝0
C．λ＝0，b＝0 D．a＝0，μ＝0
4． 若eq \(OP1,\s\up6(→))＝a，eq \(OP2,\s\up6(→))＝b，eq \(P1P,\s\up6(→))＝λeq \(PP2,\s\up6(→))(λ≠－1)，则eq \(OP,\s\up6(→))等于( )
A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b
C．λa＋b D.eq \f(1,1＋λ)a＋eq \f(λ,1＋λ)b
5． 设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用m，n表示p，则p＝________.
6． 在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＝c，eq \(AC,\s\up6(→))＝b.若点D满足eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，则eq \(AD,\s\up6(→))＝____________.
7. 如图，在▱ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，E、F分别是AB、BC的中点，
G点使eq \(DG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))，试以a，b为基底表示向量eq \(AF,\s\up6(→))与eq \(EG,\s\up6(→)).
8． 如图，▱OACB中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，BD＝eq \f(1,3)BC，OD与BA相交于E.求证：BE＝eq \f(1,4)BA.
二、能力提升
9． M为△ABC的重心，点D，E，F分别为三边BC，AB，AC的中点，则eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))
等于 ( )
A．6eq \(ME,\s\up6(→)) B．－6eq \(MF,\s\up6(→))
C．0 D．6eq \(MD,\s\up6(→))
10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，且
eq \f(AF,FD)＝eq \f(1,5)，连接CF并延长交AB于E，则eq \f(AE,EB)等于( )
A.eq \f(1,12) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,10)
11. 如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若eq \(AC,\s\up6(→))
＝λeq \(AE,\s\up6(→))＋μeq \(AF,\s\up6(→))，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.
12. 如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN
＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：AP∶PM＝4∶1.
三、探究与拓展
13. 如图，△ABC中，AD为三角形BC边上的中线且AE＝2EC，BE交AD
于G，求eq \f(AG,GD)及eq \f(BG,GE)的值．
答案
1．D 2.B 3.B 4.D 5.－eq \f(7,4)m＋eq \f(13,8)n 6.eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c 7.eq \(AF,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b，eq \(EG,\s\up6(→))＝－eq \f(1,6)a＋b
8．证明 设eq \(BE,\s\up6(→))＝λeq \(BA,\s\up6(→)).
则eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋λeq \(BA,\s\up6(→))
＝eq \(OB,\s\up6(→))＋λ(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))
＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(OB,\s\up6(→))＝λa＋(1－λ)b.
eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)a＋b.
∵O、E、D三点共线，∴eq \(OE,\s\up6(→))与eq \(OD,\s\up6(→))共线，
∴eq \f(λ,\f(1,3))＝eq \f(1－λ,1)，∴λ＝eq \f(1,4).即BE＝eq \f(1,4)BA.
9．C 10．D 11.eq \f(4,3)
12．证明 设eq \(AB,\s\up6(→))＝b，eq \(AC,\s\up6(→))＝c，
则eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)c－b.
∵eq \(AP,\s\up6(→))∥eq \(AM,\s\up6(→))，eq \(BP,\s\up6(→))∥eq \(BN,\s\up6(→))，
∴存在λ，μ∈R，使得eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))，
eq \(BP,\s\up6(→))＝μeq \(BN,\s\up6(→))，
又∵eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，∴λeq \(AM,\s\up6(→))－μeq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，
∴由λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b＋\f(1,2)c))－μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)c－b))＝b得
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)λ＋μ))b＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)λ－\f(2,3)μ))c＝b.
又∵b与c不共线．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)λ＋μ＝1，,\f(1,2)λ－\f(2,3)μ＝0.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5).))
故eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)eq \(AM,\s\up6(→))，即AP∶PM＝4∶1.
13．解 设eq \f(AG,GD)＝λ，eq \f(BG,GE)＝μ.
∵eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，即eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
又∵eq \(AG,\s\up6(→))＝λeq \(GD,\s\up6(→))＝λ(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AG,\s\up6(→)))，
∴eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(λ,1＋λ)eq \(AD,\s\up6(→))
＝eq \f(λ,21＋λ)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(λ,21＋λ)eq \(AC,\s\up6(→)).
又∵eq \(BG,\s\up6(→))＝μeq \(GE,\s\up6(→))，
即eq \(AG,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝μ(eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AG,\s\up6(→)))，
∴(1＋μ)eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AE,\s\up6(→))，
eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,1＋μ)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(μ,1＋μ)eq \(AE,\s\up6(→)).
又eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,1＋μ)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2μ,31＋μ)eq \(AC,\s\up6(→)).
∵eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))不共线，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(λ,21＋λ)＝\f(1,1＋μ)，,\f(λ,21＋λ)＝\f(2μ,31＋μ).))解之，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝4，,μ＝\f(3,2).))∴eq \f(AG,GD)＝4，eq \f(BG,GE)＝eq \f(3,2).