2020-2021学年第二章 平面向量综合与测试复习练习题

这是一份2020-2021学年第二章 平面向量综合与测试复习练习题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．点C在线段AB上，且eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→))，若eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，则λ等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,2)
C．－eq \f(2,3) D．－eq \f(3,2)
[答案] C
[解析] 由eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→))知，|eq \(AC,\s\up6(→))||eq \(BC,\s\up6(→))|＝23，且方向相反，∴eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))，∴λ＝－eq \f(2,3).
2．要想得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象，只须将y＝csx的图象( )
A．向右平移eq \f(π,3)个单位
B．向左平移eq \f(π,3)个单位
C．向右平移eq \f(5π,6)个单位
D．向左平移eq \f(5π,6)个单位
[答案] C
[解析] ∵y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,6)))，
∴将y＝csx的图象向右移eq \f(5π,6)个单位可得到
y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象．
3．设e1与e2是不共线向量，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2，若a∥b且a≠b，则实数k的值为( )
A．1
B．－1
C．0
D．±1
[答案] B
[解析] ∵a∥b，∴存在实数λ，使a＝λb(b≠0)，
∴ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，∴(k－λ)e1＝(λk－1)e2，
∵e1与e2不共线，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k－λ＝0,λk－1＝0))，∴λ＝k＝±1，
∵a≠b，∴k≠1.
[点评] e1与e2不共线，又a∥b，∴可知eq \f(1,k)＝eq \f(k,1)，∴k＝±1，∵a≠b，∴k＝－1.一般地，若e1与e2不共线，a＝me1＋ne2，b＝λe1＋μe2，若a∥b，则有eq \f(m,λ)＝eq \f(n,μ).
4．若sinθ＝m，|m|<1，－180°<θ<－90°，则tanθ等于( )
A.eq \f(m,\r(1－m2))
B．－eq \f(m,\r(1－m2))
C．±eq \f(m,\r(1－m2))
D．－eq \f(\r(1－m2),m)
[答案] B
[解析] ∵－180°<θ<－90°，
∴sinθ＝m<0，tanθ>0，
故可知tanθ＝eq \f(－m,\r(1－m2)) .
5．△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))<0，eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))<0，则该三角形为( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
[答案] C
[解析] 由eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))<0知，∠ABC为锐角；由eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))<0知∠ACB为钝角，故选C.
6．设α是第二象限的角，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))＝－cseq \f(α,2)，则eq \f(α,2)所在的象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案] C
[解析] ∵α为第二象限角，∴eq \f(α,2)为第一或三象限角，∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))＝－cseq \f(α,2)，∴cseq \f(α,2)≤0，∴选C.
7．已知点A(2，－1)，B(4,2)，点P在x轴上，当eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))取最小值时，P点的坐标是( )
A．(2,0)
B．(4,0)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，0))
D．(3,0)
[答案] D
[解析] 设P(x,0)，则eq \(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－1)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(4－x,2)，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝(2－x)(4－x)－2＝x2－6x＋6＝(x－3)2－3，当x＝3时，取最小值－3，∴P(3,0)．
8．O是△ABC所在平面内一点，且满足|eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))|，则△ABC为( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
[答案] B
[解析] ∵|eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))|，∴|eq \(CB,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|，由向量加法的平行四边形法则知，以AB、AC为邻边的平行四边形两对角线长度相等，∴eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→)).
9．如图是函数f(x)＝Asinωx(A>0，ω>0)一个周期的图象，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)的值等于( )
A.eq \r(2)
B.eq \f(\r(2),2)
C．2＋eq \r(2)
D．2eq \r(2)
[答案] A
[解析] 由图知：T＝8＝eq \f(2π,ω)，∴ω＝eq \f(π,4)，
又A＝2，∴f(x)＝2sineq \f(π,4)x，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋(5)＋f(6)＝2sineq \f(π,4)＋sineq \f(2π,4)＋sineq \f(3π,4)＋sineq \f(4π,4)＋sineq \f(5π,4)＋sineq \f(6π,4)＝2sineq \f(3π,4)＝eq \r(2).
[点评] 观察图象可知f(x)的图象关于点(4,0)中心对称，故f(3)＋f(5)＝0，f(2)＋f(6)＝0，又f(4)＝0，故原式＝f(1)＝eq \r(2).
10．已知y＝Asin(ωx＋φ)在同一周期内，x＝eq \f(π,9)时有最大值eq \f(1,2)，x＝eq \f(4π,9)时有最小值－eq \f(1,2)，则函数的解析式为( )
A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)－\f(π,6)))
B．y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,6)))
C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6)))
D．y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6)))
[答案] B
[解析] 由条件x＝eq \f(π,9)时有最大值eq \f(1,2)，x＝eq \f(4π,9)时有最小值－eq \f(1,2)可知，A＝eq \f(1,2)，eq \f(T,2)＝eq \f(4π,9)－eq \f(π,9)，∴T＝eq \f(2π,3)，∴ω＝3，
∴y＝eq \f(1,2)sin(3x＋φ)，将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,9)，\f(1,2)))代入得，
eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋φ))，
∴eq \f(π,3)＋φ＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋eq \f(π,6)，
取k＝0知选B.
11．设点O是面积为4的△ABC内部一点，且有eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋2eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则△AOC的面积为( )
A．2
B．1
C.eq \f(1,2)
D.eq \f(1,3)
[答案] B
[解析] 如图，以OA、OB为邻边作▱OADB，则eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，结合条件eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋2eq \(OC,\s\up6(→))＝0知，eq \(OD,\s\up6(→))＝－2eq \(OC,\s\up6(→))，
设OD交AB于M，则eq \(OD,\s\up6(→))＝2eq \(OM,\s\up6(→))，∴eq \(OM,\s\up6(→))＝－eq \(OC,\s\up6(→))，
故O为CM的中点，
∴S△AOC＝eq \f(1,2)S△CAM＝eq \f(1,4)S△ABC＝eq \f(1,4)×4＝1.
12．已知sinα＋csα＝eq \f(7,13) (0<α<π)，则tanα＝( )
A．－eq \f(5,12)
B．－eq \f(12,5)
C.eq \f(5,12)
D．－eq \f(12,5)或－eq \f(5,12)
[答案] B
[解析] 解法一：∵sinα＋csα＝eq \f(7,13)，0∴sinα>0，csα<0，且|sinα|>|csα|，
∴tanα<0且|tanα|>1，故选B.
解法二：两边平方得sinαcsα＝－eq \f(60,169)，
∴eq \f(tanα,tan2α＋1)＝－eq \f(60,169)，∴60tan2α＋169tanα＋60＝0，
∴(12tanα＋5)(5tanα＋12)＝0，
∴tanα＝－eq \f(12,5)或－eq \f(5,12)，
∵0<α<π，sinα＋csα＝eq \f(7,13)>0，∴tanα＝－eq \f(12,5).
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为________．
[答案] 8πcm2
[解析] ∵72°＝eq \f(π,180)×72＝eq \f(2π,5)，∴l＝eq \f(2π,5)×20＝8π，
S＝eq \f(1,2)l·r＝eq \f(1,2)×8π×20＝80π(cm2)．
14．已知a＝(3,4)，b＝(2，m)且a与b夹角为锐角，则m的取值范围是________．
[答案] m>－eq \f(3,2)且m≠eq \f(8,3)
[解析] a·b＝6＋4m>0，∴m>－eq \f(3,2)，
又当a与b同向时，eq \f(2,3)＝eq \f(m,4)，∴m＝eq \f(8,3)，
故m>－eq \f(3,2)且m≠eq \f(8,3).
15．集合A＝{x|kπ－eq \f(π,4)eq \f(1,2)}，则A∩B＝________.
[答案] {x|eq \f(π,6)＋2kπ[解析] B＝{x|eq \f(π,6)＋2kπ如图可求A∩B.
16．已知θ为第三象限角，1－sinθcsθ－3cs2θ＝0，则5sin2θ＋3sinθcsθ＝________.
[答案] eq \f(26,5)
[解析] ∵1－sinθcsθ－3cs2θ＝0，
∴sin2θ－sinθcsθ－2cs2θ＝0，
∴(sinθ－2csθ)(sinθ＋csθ)＝0，
∵θ为第三象限角，∴sinθ＋csθ<0，
∴sinθ＝2csθ，∴tanθ＝2，
∴5sin2θ＋3sinθcsθ＝eq \f(5tan2θ＋3tanθ,tan2θ＋1)＝eq \f(26,5).
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))＝－eq \f(1,2)，求
eq \f(cs(θ＋π),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs(3π－θ)－1)))＋eq \f(cs(θ－2π),cs(－θ)·cs(π－θ)＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(5π,2))))的值．
[解析] ∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))＝－eq \f(1,2)，∴sinθ＝eq \f(1,2)，
原式＝eq \f(－csθ,csθ(－csθ－1))＋eq \f(csθ,csθ·(－csθ)＋csθ)
＝eq \f(1,1＋csθ)＋eq \f(1,1－csθ)＝eq \f(2,sin2θ)＝8.
18．(本题满分12分)已知A(－1,2)，B(2,8)．
(1)若eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，求eq \(CD,\s\up6(→))的坐标；
(2)设G(0,5)，若eq \(AE,\s\up6(→))⊥eq \(BG,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))∥eq \(BG,\s\up6(→))，求E点坐标．
[解析] (1)∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(3,6)，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,2)，
eq \(DA,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，－4)，
∴C(0,4)，D(1,6)，∴eq \(CD,\s\up6(→))＝(1,2)．
(2)设E(x，y)，则eq \(AE,\s\up6(→))＝(x＋1，y－2)，eq \(BE,\s\up6(→))＝(x－2，y－8)，∵eq \(BG,\s\up6(→))＝(－2，－3)，eq \(AE,\s\up6(→))⊥eq \(BG,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))∥eq \(BG,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2(x＋1)－3(y－2)＝0,－3(x－2)＋2(y－8)＝0))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(22,13),y＝\f(32,13))).
∴E点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(22,13)，\f(32,13))).
19．(本题满分12分)在▱ABCD中，点M在AB上，且AM＝3MB，点N在BD上，且eq \(BN,\s\up6(→))＝λeq \(BD,\s\up6(→))，C、M、N三点共线，求λ的值．
[证明] 设eq \(AB,\s\up6(→))＝e1，eq \(AD,\s\up6(→))＝e2，则eq \(BD,\s\up6(→))＝e2－e1，
eq \(BN,\s\up6(→))＝λeq \(BD,\s\up6(→))＝λ(e2－e1)，eq \(MB,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)e1，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＝e2，
∴eq \(MC,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))
＝eq \f(1,4)e1＋e2，
eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)e1＋λ(e2－e1)＝λe2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－λ))e1，
∵M、N、C共线，∴eq \(MN,\s\up6(→))与eq \(MC,\s\up6(→))共线，
∵e1与e2不共线，∴eq \f(\f(1,4)－λ,\f(1,4))＝eq \f(λ,1)，∴λ＝eq \f(1,5).
20．(本题满分12分)是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋acsx－1＋eq \f(5,8)a在闭区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上最大值为1？若存在，求出对应的a值，若不存在，说明理由．
[解析] y＝－cs2x＋acsx＋eq \f(5a,8)
＝－(csx－eq \f(a,2))2＋eq \f(a2,4)＋eq \f(5a,8)，
∵0≤x≤eq \f(π,2)，∴0≤csx≤1，
∵最大值为1，
∴(Ⅰ)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤\f(a,2)≤1,\f(a2,4)＋\f(5a,8)＝1))或(Ⅱ)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,2)<0,\f(5a,8)＝1))或(Ⅲ)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,2)>1,－1＋a＋\f(5a,8)＝1))，
由(Ⅰ)解得a＝eq \f(\r(89)－5,4)，(Ⅱ)(Ⅲ)无解，
∴a＝eq \f(\r(89)－5,4).
[点评] 此类问题一般把csx(或sinx)看成未知数整理为二次函数，然后由x的范围，得出csx(或sinx)的取值范围A后，分为①A在对称轴左侧(或右侧)，用单调性讨论；②对称轴在A内，在顶点处取得最值．试一试解答下题：
是否存在实数λ，使函数f(x)＝－2sin2x－4λcsx＋1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤x≤\f(π,2)))的最小值是－eq \f(3,2)？若存在，求出对应的λ值，若不存在，试说明理由．
答案为λ＝eq \f(5,8)或eq \f(1,2).
21．(本题满分12分)
(1)角α的终边经过点P(sin150°，cs150°)，求tanα.
(2)角α的终边在直线y＝－3x上，求sinα、csα.
[解析] (1)∵Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，∴tanα＝eq \f(－\f(\r(3),2),\f(1,2))＝－eq \r(3).
(2)在角α终边上任取一点P(x，y)，则y＝－3x，
P点到原点距离r＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(10)|x|，
当x>0时，r＝eq \r(10)x，∴sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3x,\r(10)x)＝－eq \f(3\r(10),10)，
csα＝eq \f(x,r)＝eq \f(x,\r(10)x)＝eq \f(\r(10),10)，
当x<0时，r＝－eq \r(10)x，∴sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(3\r(10),10)，
csα＝eq \f(x,r)＝－eq \f(\r(10),10).
22．(本题满分14分)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调减区间，并指出f(x)的最大值及取到最大值时x的集合；
(3)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
[解析] (1)由图知A＝3，eq \f(3,4)T＝4π－eq \f(π,4)＝eq \f(15π,4)，
∴T＝5π，∴ω＝eq \f(2,5)，∴f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)x＋φ))，
∵过(4π，－3)，∴－3＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8π,5)＋φ))，
∴eq \f(8π,5)＋φ＝2kπ－eq \f(π,2)，∴φ＝2kπ－eq \f(21π,10)，
∵|φ|(2)由2kπ＋eq \f(π,2)≤eq \f(2,5)x－eq \f(π,10)≤2kπ＋eq \f(3π,2)得，
5kπ＋eq \f(3π,2)≤x≤5kπ＋4π (k∈Z)，
∴函数f(x)的单调减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(5kπ＋\f(3π,2)，5kπ＋4π)) (k∈Z)．
函数f(x)的最大值为3，取到最大值时x的集合为
{x|x＝5kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z}．
(3)解法一：f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x,5)－\f(π,10)))
＝3cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x,5)－\f(π,10)))))＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x,5)－\f(3π,5)))
＝3cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3π,2)))))，
故至少须左移eq \f(3π,2)个单位才能使所对应函数为偶函数．
解法二：f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x,5)－\f(π,10)))的图象的对称轴方程为eq \f(2,5)x－eq \f(π,10)＝kπ＋eq \f(π,2)，∴x＝eq \f(5kπ,2)＋eq \f(3π,2)，当k＝0时，x＝eq \f(3π,2)，k＝－1时，x＝－π，故至少左移eq \f(3π,2)个单位．
解法三：函数f(x)在原点右边第一个最大值点为eq \f(2x,5)－eq \f(π,10)＝eq \f(π,2)，∴x＝eq \f(3π,2)，把该点左移到y轴上，需平移eq \f(3π,2)个单位．
解法四：观察图象可知，欲使函数图象左移后为偶函数，由其周期为5π可知，须把eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))点变为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,4)，0))或把点(4π，－3)变为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)，－3))等，可知应左移eq \f(3π,2)个单位．