人教版新课标A必修4第二章 平面向量综合与测试练习

第二章综合检测题

本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．(08·湖北文)设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(　　)

A．(－15,12)　　　　　　

B．0

C．－3 

D．－11

[答案]　C

[解析]　∵a＋2b＝(－5,6)，c＝(3,2)，

∴(a＋2b)·c＝－5×3＋6×2＝－3.

2．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(　　)

A．λ>1 

B．λ<1

C．λ<－1 

D．λ<－1或－1<λ<1

[答案]　D

[解析]　由条件知，a·b＝λ－1<0，∴λ<1，

当a与b反向时，假设存在负数k，使b＝ka，

∴，∴.

∴λ<1且λ≠－1.

3．在四边形ABCD中，若·＝－||·||，且·＝||·||，则该四边形一定是(　　)

A．平行四边形 

B．矩形

C．菱形 

D．正方形

[答案]　A

[解析]　由·＝－||·||可知与的夹角为180°，∴AB∥CD.

又由·＝||·||知与的夹角为0°，

∴BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形．

4．如果两个非零向量a和b满足等式|a|＋|b|＝|a＋b|，则a，b应满足(　　)

A．a·b＝0 

B．a·b＝|a|·|b|

C．a·b＝－|a|·|b| 

D．a∥b

[答案]　B

[解析]　由|a|＋|b|＝|a＋b|知，

a与b同向，故夹角为0°，

∴a·b＝|a|·|b|cos0°＝|a|·|b|.

5．(08·湖南理)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与(　　)

A．反向平行 

B．同向平行

C．互相垂直 

D．既不平行也不垂直

[答案]　A

[解析]　＋＋＝＋＋＋＋－＝＋＋－－－＝(－)＋＝＋＝－，故选A.

6．在▱ABCD中，已知＝(－4,2)，＝(2，－6)，那么|2＋|＝(　　)

A．5 

B．2

C．2 

D.

[答案]　D

[解析]　设＝a，＝b，则a＋b＝＝(－4,2)，b－a＝＝(2，－6)，

∴b＝(－1，－2)，a＝(－3,4)，

∴2＋＝2a＋b＝(－7,6)，

∴|2＋|＝＝.

7．如右图，在梯形ABCD中，AD∥BC，＝a，＝b，＝c，＝d，且E、F分别为AB、CD的中点，则(　　)

A.＝(a＋b＋c＋d)

B.＝(a－b＋c－d)

C.＝(c＋d－a－b)

D.＝(a＋b－c－d)

[答案]　C

[解析]　∵＝－＝(＋)－(＋)

＝(c＋d)－(a＋b)，

∴＝(c＋d－a－b)．

8．在矩形ABCD中，＝，＝，设＝(a,0)，＝(0，b)，当⊥时，求得的值为(　　)

A．3　　　

B．2　　　　

C.　 　 　

D.

[答案]　D

[解析]　如图，∵＝＋＝＋

＝＋＝.

又∵＝＋＝－＋

＝(0，－b)＋＝，

∵⊥，∴－＝0，∴＝.

9．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上求一点P，使·取最小值，则P点的坐标是(　　)

A．(3,0) 

B．(－3,0)

C．(2,0) 

D．(4,0)

[答案]　A

[解析]　设P(x0,0)，且＝(x0－2，－2)，＝(x0－4，－1)，

∴·＝(x0－2)(x0－4)＋2

＝x－6x0＋10＝(x0－3)2＋1，

∴x0＝3时，·取最小值．

10．(08·浙江理)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　)

A．1 

B．2

C. 

D.

[答案]　C

[解析]　由(a－c)(b－c)＝0得a·b－(a＋b)·c＋c2＝0，即c2＝(a＋b)c，

故|c|·|c|≤|a＋b|·|c|，即|c|≤|a＋b|＝，故选C.

11．(09·辽宁文)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝(　　)

A. 

B．2

C．4 

D．12

[答案]　B

[解析]　∵a＝(2,0)，∴|a|＝2，

|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b

＝4＋4＋4×2×1×cos60°＝12，

∴|a＋2b|＝2，∴选B.

12．设e1与e2为两不共线向量，＝2e1－3e2，＝－5e1＋4e2，＝e1＋2e2，则(　　)

A．A、B、D三点共线

B．A、C、D三点共线

C．B、C、D三点共线

D．A、B、C三点共线

[答案]　A

[解析]　∵＝＋＝－4e1＋6e2

＝－2(2e1－3e2)＝－2，∴∥，

∵与有公共点B，∴A、B、D三点共线．

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)

13．与向量a＝(－5,12)共线的单位向量为________．

[答案]　和

[解析]　∵|a|＝13，∴与a共线的单位向量为

±＝±.

14．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，D是边BC的中点，则·＝________.

[答案]　

[解析]　由已知得＝(＋)，

＝－，∴·＝(·)·(－)

＝(||2－||2)＝(9－4)＝.

15．已知a＋b＝2e1－8e2，a－b＝－8e1＋16e2，其中|e1|＝|e2|＝1，e1⊥e2，则a·b＝________.

[答案]　－63

[解析]　解方程组得，

，

∴a·b＝(－3e1＋4e2)·(5e1－12e2)

＝－15|e1|2＋56e1·e2－48|e2|2＝－63.

16．已知＝(k,2)，＝(1,2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A、B、C共线，则实数k＝________.

[答案]　－

[解析]　＝－＝(1－k,2k－2)，

＝－＝(1－2k，－3)，

∵A、B、C三点共线，∴∥，∴(1－k)·(－3)－(2k－2)·(1－2k)＝0，∴k＝1或－.

∵A、B、C是不同三点，∴k≠1，∴k＝－.

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本题满分12分)已知a＝(1,1)，且a与a＋2b的方向相同，求a·b的取值范围．

[解析]　∵a与a＋2b方向相同，且a≠0，

∴存在正数λ，使a＋2b＝λa，∴b＝(λ－1)a.

∴a·b＝a·＝(λ－1)|a|2

＝λ－1>－1.

即a·b的取值范围是(－1，＋∞)．

18．(本题满分12分)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，

(1)ka＋b与a－3b垂直？

(2)ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？

[解析]　(1)ka＋b＝k×(1,2)＋(－3,2)

＝(k－3,2k＋2)，

a－3b＝(1,2)－3×(－3,2)＝(10，－4)．

当(ka＋b)·(a－3b)＝0时，这两个向量垂直．

由10(k－3)＋(2k＋2)(－4)＝0，

解得k＝19.

即当k＝19时，ka＋b与a－3b垂直．

(2)当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ使ka＋b＝λ(a－3b)．

由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)得，

解得.

即当k＝－时，两向量平行．

∵λ＝－，∴－a＋b与a－3b反向．

19．(本题满分12分)已知a＝3i－4j，a＋b＝4i－3j，

(1)求向量a、b的夹角的余弦值；

(2)对非零向量p，q，如果存在不为零的常数α，β使αp＋βq＝0，那么称向量p，q是线性相关的，否则称向量p，q是线性无关的．向量a，b是线性相关还是线性无关的？为什么？

[解析]　(1)b＝(a＋b)－a＝i＋j，设a与b夹角为θ，根据两向量夹角公式：cosθ＝＝＝－.

(2)设存在不为零的常数α，β使得αa＋βb＝0，

那么⇒，

所以不存在非零常数α，β，使得αa＋βb＝0成立．故a和b线性无关．

20．(本题满分12分)已知正方形ABCD，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F.

求证：DP⊥EF.

[证明]　以A为原点，AB、AD分别为x轴、y轴建立直角坐标系，设正方形边长为1，则＝(1,0)，＝(0,1)．

由已知，可设＝(a，a)，并可得＝(1－a,0)，＝(0，a)，＝(1－a，a)，＝－＝(a，a－1)，

∵·＝(1－a，a)·(a，a－1)

＝(1－a)a＋a(a－1)＝0.

∴⊥，因此DP⊥EF.

21．(本题满分12分)设直线l：mx＋y＋2＝0与线段AB有公共点P，其中A(－2,3)，B(3,2)，试用向量的方法求实数m的取值范围．

[解析]　(1)P与A重合时，m×(－2)＋3＋2＝0，

∴m＝.

P与B重合时，3m＋2＋2＝0，∴m＝－.

(2)P与A、B不重合时，设＝λ，则λ>0.

设P(x，y)，则＝(x＋2，y－3)，＝(3－x,2－y)．

∴，∴，

把x，y代入mx＋y＋2＝0可解得λ＝，

又∵λ>0，∴>0.∴m<－或m>.

由(1)(2)知，所求实数m的取值范围是－∞，－∪.

22．(本题满分14分)已知a，b是两个非零向量，夹角为θ，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时．

(1)求t的值；

(2)求b与a＋tb的夹角．

[解析]　(1)|a＋tb|2＝a2＋2ta·b＋t2b2

＝|b|2t2＋2|a||b|cosθ·t＋|a|2.

∴当t＝－时，|a＋tb|有最小值．

(2)当t＝－时，

b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2

＝|a|·|b|cosθ－·|b|2＝0.

∴b⊥(a＋tb)，即b与a＋tb的夹角为90°.