高中数学人教版新课标A必修4第二章 平面向量综合与测试课后复习题

章末质量评估(二)

 (时间：100分钟　满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．给出下列等式：(1)a·0　＝0；(2)0·a＝0；(3)若a，b同向共线，则a·b＝|a|·|b|；(4)a≠0，b≠0，则a·b≠0；(5)a·b＝0，则a·b中至少有一个为0；(6)若a，b均是单位向量，则a2＝b2.以上成立的是(　　)．

A．(1)(2)(5)(6)   B．(3)(6)

C．(2)(3)(4)   D．(3)(6)

解析　因为a·0　＝0，所以(1)错；因为0·a＝0，所以(2)错；当a，b同向共线时，cos〈a，b〉＝1，此时a·b＝|a|·|b|，所以(3)对；若a⊥b，尽管a≠0，b≠0，仍有a·b＝0，所以(4)错；当a≠0，b≠0，且a⊥b时，a·b＝0，所以(5)错；因为a，b均是单位向量，所以a2　＝b2，即(6)正确．故选D.

答案　D

2．已知向量a＝(1，)，b＝(＋1，－1)，则a与b的夹角为(　　)．

A.             B.                C.                 D.

解析　cos θ＝＝＝，又θ∈[0，π]，

∴θ＝.

答案　A

3．设a，b是共线的单位向量，则|a＋b|的值是(　　)．

A．等于2         B．等于0         C．大于2        D．等于0或等于2

解析　|a＋b|＝＝

＝，∵a与b共线，∴cos θ＝1或cos θ＝－1.

∴|a＋b|＝0或2.

答案　D

4．已知线段AB的中点为C，则－＝(　　)．

A．3            B.            C.          D．3

解析　∵＝2＝－2，∴－＝－3＝3.

答案　A

5．已知△ABC中，＝a，＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则a与b的夹角为(　　)．

A．30°   B．－150°

C．150°   D．30°或150°

解析　·<0，∴∠ACB>90°，故答案应为C.

答案　C

6．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是(　　)．

A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)

B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)

C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)

D．e1＝(2，－3)，e2＝

解析　根据基底概念，e1与e2不共线，对于B，∵－1×7－2×5≠0，故可作平面内的一组基底．

答案　B

7．已知非零向量a，b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则等于(　　)．

A.               B．4               C.               D．2

解析　由(a＋2b)·(a－2b)＝0，有a2－2ab＋2ab－4b2＝0，∴a2＝4b2，∴|a|＝2|b|，∴＝2.故选D.

答案　D

8．点O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　)．

A．三条内角的角平分线的交点

B．三条边的垂直平分线的交点

C．三条中线的交点

D．三条高的交点

解析　·＝·⇒(－)·＝0⇒·＝0⇒⊥.

同理可得⊥，⊥.

因此点O是△ABC的垂心．故选D.

答案　D

9．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(　　)．

A．(－2,4)          B．(－30,25)       C．(10，－5)       D．(5，－10)

解析　由已知，设平移后M(x，y)，有＝5v，∴(x，y)＝(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．

答案　C

10．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于(　　)．

A．－              B．－              C.               D.

解析　由＝2，AM＝1知，PM＝，PA＝，＋＝2，所以·(＋)＝2·＝2||||cos 180°＝2×××(－1)＝－.故选A.

答案　A

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)

11．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.

解析　|5a－b|2＝(5a－b)2＝25a2＋b2－10a·b

＝25×12＋32－10×1×3×＝49，

∴|5a－b|＝7.

答案　7

12．已知点A(2,3)，C(0,1)，且＝－2，则点B的坐标为________．

解析　设点B的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y－3)．

＝(－x,1－y)，又＝－2，

∴(x－2，y－3)＝－2(－x,1－y)＝(2x,2y－2)．

∴x＝－2，y＝－1.

答案　(－2，－1)

13．与a＝(12,5)平行的单位向量是________．

解析　由题意设b＝λa＝(12λ，5λ)，且|b|＝1.

则(12λ)2＋(5λ)2＝1，解得λ＝±

∴b＝或b＝

答案　或

14．已知向量a＝(6,2)，b＝(－4，)，直线l过点A(3，－1)且与向量a＋2b垂直，则直线l的方程为________．

解析　a＋2b＝(6,2)＋2＝(－2,3)．

设P(x，y)为所求直线上任意一点，则

＝(x－3，y＋1)．

∵·(a＋2b)＝0，

∴－2(x－3)＋3(y＋1)＝0，

整理得2x－3y－9＝0.

∴2x－3y－9＝0即为所求直线方程．

答案　2x－3y－9＝0

三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(10分)如图，O是△ABC内一点，PQ∥BC，

且＝t，＝a，＝b，＝c，

试用a，b，c表示与.

解　因为＝t，所以＝t，得到BP＝(1－t)AB，

＝＋＝b＋(1－t)＝b＋(1－t)(a　－b)＝(1－t)a＋tb.

同理可得，＝(1－t)a＋tc.

16．(10分)已知点A(0,1)和点B(－3,4)，O为坐标原点，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝2，求向量的坐标．

解　设a＝＝(0,1)，b＝＝，则|a|　＝|b|＝1.即a与b分别是与，共线的单位向量．因为点C在∠AOB的平分线上，所以与a＋b共线．设＝λ(a＋b)(λ>0)，则＝λ(－，)．

∵||＝2，∴λ2＝4，得λ＝.

故＝.

17．(10分)已知a＝( ，－1)，b＝，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值．

解　∵a＝(，－1)，b＝，

∴|a|＝ ＝2，

|b|＝ ＝1.

∴a·b＝ ×＋(－1)×＝0，故有a⊥b.

由x⊥y，得[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，

即－ka2＋(t3－3t)b2＋(t－kt2＋3k)a·b＝0.

∴－k|a|2＋(t3－3t)|b|2＝0.

将|a|＝2，|b|＝1代入上式，得－4k＋t3－3t＝0.

∴k＝，

∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－.

故当t＝－2时，有最小值－.

18．(12分)已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，cos x)，且b≠0，定义函数f(x)＝2a·b－1.

(1)求函数f(x)的单调增区间；

(2)若a∥b，求tan x的值；

(3)若a⊥b，求x的最小正值．

解　(1)f(x)＝2a·b－1

＝2(sin xcos x＋cos2x)－1

＝sin 2x＋cos 2x

＝2sin.

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

得kπ－≤x≤kπ＋.

∴单调增区间为，k∈Z.

(2)由a∥b，得sin xcos x－cos2x＝0，

∵b≠0，

∴cos x≠0.

∴tan x－＝0，

∴tan x＝.

(3)由a⊥b得sin xcos x＋cos2x＝0，

∵b≠0，

∴cos x≠0

∴tan x＝－

故x的最小正值为：x＝.

19．(12分)(2012·温州高一检测)平面内有四边形ABCD，＝2，且AB＝CD＝DA＝2，＝a，＝b，M是CD的中点．

(1)试用a，b表示；

(2)AB上有点P，PC和BM的交点为Q，PQ∶QC＝1∶2，求AP∶PB和BQ∶QM.

解　(1)＝(＋)

＝(＋＋2)＝a＋b.

(2)设＝t，则

＝＋＝＋(＋)

＝＋＝t＋·2

＝(a＋tb)．

设＝λ＝a＋b，

由于，不共线，则有，解方程组

得λ＝，t＝.

故AP∶PB＝2∶1，BQ∶QM＝4∶5.