高中数学人教版新课标A必修43.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步训练题

这是一份高中数学人教版新课标A必修43.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步训练题，共8页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
3.1  两角和与差的正弦、余弦正切公式 一、选择题：1．sincos－cossin的值是(  )A．－    B．    C．－sin   D．sin 2．若sin（α+β）cosβ－cos（α+β）sinβ=0，则sin（α+2β）+sin（α－2β）等于(  )A．1     B．－1    C．0     D．±1 二、解答题3．已知＜α＜，0＜β＜，cos（+α）=－，sin（+β）=，求sin（α+β）的值．      4．已知非零常数a、b满足=tan，求．   5．已知０＜α＜，sin（－α）=，求的值．      6．已知sin（α+β）=，sin（α－β）=，求的值．    7．已知A、B、C是△ABC的三个内角且lgsinA－lgsinB－lgcosC=lg2．试判断此三角形的形状特征．    8．化简．    9． 求值：（1）sin75°；（2）sin13°cos17°+cos13°sin17°．    10． 求sincos－sinsin的值．    11． 在足球比赛中，甲方边锋从乙方半场带球过人沿直线前进（如下图），试问甲方边锋在何处射门命中乙方球门的可能性最大？（设乙方球门两个端点分别为A、B）    12． 已知＜α＜β＜，cos（α－β）=，sin（α+β）=－，求sin2α的值．        13． 证明sin（α+β）sin（α－β）=sin2α－sin2β，并利用该式计算sin220°+     sin80°·sin40°的值．       14． 化简：［2sin50°+sin10°（1+tan10°）］·．    15． 已知函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2，（1）若x∈R，求函数的最大值和最小值；（2）若x∈［0，］，求函数的最大值和最小值．       参考答案 1．B       2． C 3．解：∵＜α＜，∴＜+α＜π．又cos（+α）=－，∴sin（+α）=．∵0＜β＜，∴＜+β＜π．又sin（+β）=，∴cos（+β）=－，∴sin（α+β）=－sin［π+（α+β）］=－sin［（+α）+（+β）］=－［sin（+α）cos（+β）+cos（+α）sin（+β）］=－［×（－）－×］=．4．分析：这道题看起来复杂，但是只要能从式子中整理出，用、的三角函数表示出来，再利用两角和与差的正、余弦公式计算即可．解：由于，则．整理，有=tan=．5．分析：这道题的选题意图是考查两角和与差的正、余弦公式和诱导公式的综合运用以及变角技巧．解题过程中，需要注意到（+α）+（－α）=，并且（+α）－（－α）=2α．解：cos（+α）=cos［－（－α）］=sin（－α）=，又由于０＜α＜，则0＜－α＜，＜+α＜．所以cos（－α）=，sin．因此==．6．分析：当题中有异角、异名时，常需化角、化名，有时将单角转化为复角（和或差）．本题是将复角化成单角，正（余）切和正（余）弦常常互化．欲求的值，需化切为弦，即，可再求sinαcosβ、cosαsinβ的值．解：∵sin（α+β）=，∴sinαcosβ+cosαsinβ=．       ①∵sin（α－β）=，∴sinαcosβ－cosαsinβ=．       ②由（①+②）÷（①－②）得=－17．7．分析：从角与角的关系探究三角函数间的关系；反之，利用三角函数间的关系去判断角的大小及关系，这是常用的基本方法．可以先化去对数符号，将对数式转化为有理式，然后再考察A、B、C的关系及大小，据此判明形状特征．解：由于lgsinA－lgsinB－lgcosC=lg2，可得lgsinA=lg2+lgsinB+lgcosC，即lgsinA=lg2sinBcosC，sinA=2sinBcosC．根据内角和定理，A+B+C=π，∴A=π－（B+C）．∴sin（B+C）=2sinBcosC，即sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC．移项化为sinCcosB－sinBcosC=0，即sin（B－C）=0．∴在△ABC中，C=B．∴△ABC为等腰三角形．8．分析：这道题要观察出7°+8°=15°，解题过程中还需要应用两角和与差的正弦、余弦公式．解：====2－． 9．解：（1）原式=sin（30°+45°）= sin30°cos45°+cos30°sin45°=·+·=．（2）原式= sin（13°+17°）=sin30°=．10．解：观察分析这些角的联系，会发现=－．sincos－sinsin=sincos－sin（－）sin=sincos－cossin=sin（－）=sin=．11．解：设边锋为C，C到足球门AB所在的直线的距离为CO=x，OB=b，OA=a（a＞b＞0，a、b为定值），∠ACO=α，∠BCO=β，∠ACB=α－β＝γ（0＜γ＜），则tanα=，tanβ=（x＞0，＞0）．所以tanγ=tan（α－β）=≤．当且仅当x=，即x=时，上述等式成立．又0＜γ＜，tanγ为增函数，所以当x=时，tanγ达到最大，从而∠ACB达到最大值arctan．所以边锋C距球门AB所在的直线距离为时，射门可以命中球门的可能性最大．  12．解：此题考查“变角”的技巧．由分析可知2α=（α－β）+（α+β）．由于＜α＜β＜，可得到π＜α+β＜，0＜α－β＜．∴cos（α+β）=－，sin（α－β）=．∴sin2α=sin［（α+β）+（α－β）］=sin（α+β）cos（α－β）+cos（α+β）sin（α－β）=（－）·+（－）·=－．13．证明：sin（α+β）sin（α－β）=（sinαcosβ+cosαsinβ）（sinαcosβ－cosαsinβ）=sin2αcos2β－cos2αsin2β=sin2α（1－sin2β）－（1－sin2α）sin2β=sin2α－sin2αsin2β－sin2β+sin2αsin2β=sin2α－sin2β，所以左边=右边，原题得证．计算sin220°+sin80°·sin40°，需要先观察角之间的关系．经观察可知80°=60°+    20°，40°=60°－20°，所以sin220°+sin80°·sin40°=sin220°+sin（60°+20°）·sin（60°－20°）=sin220°+sin260°－sin220°=sin260°=．分析：此题目要灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简．14．解：原式=［2sin50°+sin10°（1+tan10°）］·=［2sin50°+sin10°（1+）］·=［2sin50°+sin10°（）］·=（2sin50°+2sin10°·）·cos10°=2（sin50°cos10°+sin10°·cos50°）=2sin60°=．15．解：（1）设t=sinx+cosx=sin（x+）∈［－，］，则t2=1+2sinxcosx．∴2sinxcosx=t2－1．∴y=t2+t+1=（t+）2+∈［，3+］∴ymax=3+，ymin=．（2）若x∈［0，］，则t∈［1，］．∴y∈［3，3+］，即ymax­=3+ymin=3．