高中数学人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试测试题

这是一份高中数学人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试测试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
章末质量评估(三)(时间：100分钟　满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算sin 89°cos 14°－sin 1°cos 76°＝(　　)．A.     B.      C.       D.解析　sin 89°cos 14°－sin 1°cos 76°＝sin 89°cos 14°－cos 89°sin 14°＝sin 75°＝sin(45°＋30°)＝.答案　A2．若＝3，则cos2θ＋sin 2θ的值是(　　)．A．－         B．－       C.             D.解析　∵tan θ＝，∴原式＝＝＝＝＝.答案　D3．(2012·湖南师大附中高一检测)已知cos(α－β)＝，sin β＝－，且α∈，β∈，则sin α＝(　　)．A.           B.            C．－          D．－解析　∵α∈，β∈，∴α－β∈(0，π)，由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝，由sin β＝－得cos β＝，∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝×＋×＝.答案　A4．设a＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b＝2cos213°－1，c＝，则有(　　)．A．c<a<b  B．b<c<a  C．a<b<c  D．b<a<c解析　a＝sin(17°＋45°)＝sin 62°，b＝2cos213°－1＝cos 26°＝sin 64°，c＝＝sin 60°，∴c<a<b.答案　A5．在△ABC中，若0<tan Atan B<1，则△ABC是(　　)．A．钝角三角形   B．锐角三角形C．直角三角形   D．不能确定解析　∵0<tan Atan B<1，∴0<A，B<，又tan Atan B＝·<1，∴cos Acos B－sin Asin B＝cos(A＋B)>0，∴A＋B<，∴C>，∴△ABC为钝角三角形．答案　A6．若x∈，cos x＝，则tan 2x等于(　　)．A.           B．－          C.         D．－解析　∵x∈，cos x＝，∴sin x＝－，∴tan x＝－，∴tan 2x＝＝－.答案　D7．函数y＝sin4x＋cos2x的最小正周期为(　　)．A.           B.           C．π          D．2π解析　y＝sin4x＋cos2x＝(1－cos2x)2＋cos2x＝2＋＝cos 4x＋.∴T＝.答案　B8．已知sin＝，则sin 2x的值为(　　)．A.          B.           C.           D.解析　sin 2x＝cos＝cos 2＝1－2sin2＝1－2×2＝.答案　D9．(2012·日照高一检测)当函数y＝sincos取得最大值时，tan x的值为(　　)．A．1           B．±1         C.            D．－1解析　y＝＝(sin2x＋cos2x)＋sin xcos x＋sin x cos x＝＋sin 2x.当sin 2x＝1时，ymax＝，此时2x＝2kπ＋，x＝kπ＋(k∈Z)，∴tan x＝1.答案　A10．函数y＝sin x－cos x的图象可以看成是由函数y＝sin x＋cos x的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是(　　)．A．向左平移个单位   B．向右平移个单位C．向右平移个单位   D．向左平移个单位解析　令y＝sin x＋cos x＝sin＝f(x)，则y＝sin x－cos x＝sin ＝sin ＝f，∴y＝sin x＋cos xy＝sin x－cos x.答案　C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)11．化简的结果是________．解析　原式＝＝＝|cos 1|.又0<1<，∴cos 1>0，∴原式＝cos 1.答案　cos 112．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°.如图，点C在以O为圆心的圆弧上变动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________．解析　建立如图所示的坐标系，则A(1,0)，B(cos 120°，sin 120°)，即B.设∠AOC＝α，则＝(cos α，sin α)．∵＝x＋y＝(x,0)＋＝(cos α，sin α)，∴∴∴x＋y＝sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)．∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°∴x＋y有最大值2，当α＝60°时取得最大值2.答案　213．已知sin x－cos x＝sin xcos x，则sin 2x＝________.解析　∵sin x－cos x＝sin xcos x，∴(sin x－cos x)2＝(sin xcos x)21－2sin xcos x＝(sin xcos x)2，∴令t＝sin xcos x，则1－2t＝t2.即t2＋2t－1＝0，∴t＝＝－1±.又∵t＝sin xcos x＝sin 2x∈，∴t＝－1，∴sin 2x＝2－2.答案　2－214．(2012·长沙高一检测)关于函数f(x)＝cos＋cos，有下列说法：①y＝f(x)的最大值为；②y＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数；③y＝f(x)在区间上单调递减；④将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是________．(注：把你认为正确的说法的序号都填上)解析　f(x)＝cos＋cos＝cos－sin＝cos，∴f(x)max＝，即①正确．T＝＝＝π，即②正确．f(x)的递减区间为2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)．即kπ＋≤x≤kπ＋π(k∈Z)，k＝0时，≤x≤，所以③正确．将函数y＝cos 2x向左平移个单位得y＝cos≠f(x)，∴④不正确．答案　①②③三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)已知|cos θ|＝，且<θ<3π，求sin 、cos 、tan 的值．解　∵|cos θ|＝，<θ<3π，∴cos θ＝－，<<.由cos θ＝1－2sin2，有sin ＝－ ＝－ ＝－.又cos θ＝2cos2－1，有cos ＝－ ＝－，tan ＝＝2.16．(10分)求证：＝tan .证明　左式＝＝＝＝＝＝＝tan .17．(10分)已知sinsin＝，x∈，求sin 4x的值．解　因为＋＝，所以sinsin＝sincos＝＝sin＝cos 2x＝，所以cos 2x＝.又x∈，所以2x∈(π，2π)，所以sin 2x<0，所以sin 2x＝－.所以sin 4x＝2sin 2xcos 2x＝2××＝－1.18．(12分)已知sin α＝，cos β＝－，α、β均在第二象限，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．解　因为sin α＝，cos β＝－，α、β均为第二象限角，所以cos α＝－＝－，sin β＝＝.故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝.19．(12分)设向量a＝(cos(α＋β)，sin(α＋β))，b＝(cos(α－β)，sin(α－β))，且a＋b＝.(1)求tan α；(2)求.解　(1)a＋b＝(cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β，sin αcos β＋cos αsin β＋sin αcos β－cos αsin β)＝(2cos αcos β，2sin αcos β)＝.∴2cos αcos β＝，2sin αcos β＝，∴tan α＝.(2)＝＝＝－.