高中数学人教版新课标A选修2-21.1变化率与导数教学ppt课件

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1．1.3　导数的几何意义理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程．本节重点：导数的几何意义及曲线的切线方程．本节难点：求曲线在某点处的切线方程．1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数，不是变量．(2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)．根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数f(x)的导函数f′(x)．(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.所以求函数在某一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．2．函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函数f(x)的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点x0处有切线，而函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝在x＝0处有切线，但它不可导．1．导数的几何意义①割线斜率与切线斜率2．函数的导数当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝ . [例1]　求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．[分析]　求函数在某点处的导数，一种方法是直接求函数在该点的导数；另一种方法是先求函数在x＝x0处的导数表达式，再代入变量求导数值，上一节已经学过第一种方法．现在我们用第二种方法求解．已知函数y＝f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a.(1)点P处的切线的斜率；(2)点P处的切线方程．[分析]　求函数f(x)图象上点P处的切线方程的步骤：先求出函数在点(x0，y0)处的导数f′(x0)(即过点P的切线的斜率)，再用点斜式写出切线方程．[点评]　一般地，设曲线C是函数y＝f(x)的图象，点P(x0，y0)是曲线C上的定点，点Q(x0＋Δx，y0＋Δy)是C上与P邻近的点，有y0＝f(x0)，y0＋Δy＝f(x0＋Δx)，Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，[例3]　在曲线y＝x2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)倾斜角为135°.[分析]　解此类题的步骤为：①先设切点坐标(x0，y0)；②求导函数f′(x)；③求切线的斜率f′(x0)；④由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；⑤由于点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标．[点评]　此类题的易错之处是将切点的横坐标代入导函数来求切点坐标．直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切．(1)求a的值；(2)求切点的坐标．[例4]　已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，(1)求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其它公共点？[分析]　(1)关键是求出切线斜率k＝f′(1)及切点坐标；(2)将(1)中的切线方程与曲线C联立，根据方程组的解的情况判断．＝12x3－6x2－18x.∴切线的斜率为k＝12－6－18＝－12.∴切线方程为y＋4＝－12(x－1)，即y＝－12x＋8.[点评]　此例说明：曲线与直线相切并不只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．求曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．一、选择题1．曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是(　　)A．－4　 　　B．0　 　　C．4　 　　D．不存在[答案]　B2．曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为(　　)A．(－2，－8) B．(1,1)，(－1，－1)[答案]　B[答案]　B二、填空题4．抛物线y2＝x与x轴、y轴都只有一个公共点，在x轴和y轴这两条直线中，只有___________是它的切线，而__________不是它的切线．[答案]　y轴　x轴[解析]　如图所示，可知y轴是它的切线，而x轴不是它的切线．[答案]　k[解析]　由导数的几何意义知，曲线y＝f(x)在x0处的切线斜率即为函数y＝f(x)在x＝x0时的导数．三、解答题6．求曲线y＝x2在x＝1处的切线方程．[解析]　由y＝x2得Δy＝(x＋Δx)2－x2＝2x·Δx＋(Δx)2，即f′(x)＝2x，所以f′(1)＝2×1＝2.曲线y＝x2在x＝1处切线的斜率为2，又x＝1时，y＝x2＝1，切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.