高中数学人教版新课标A必修41.4 三角函数的图象与性质复习课件ppt

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第二十讲三角函数的图象回归课本1.作y=Asin(ωx+φ)的图象主要有以下两种方法:(1)用“五点法”作图.用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0, π, ,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象. (2)由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.方法一:先平移后伸缩y=sinx y=sin(x+φ) y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ).方法二:先伸缩后平移y=sinx y=sinωx y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ).2.y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时,A叫做振幅,T= 叫做周期, 叫做频率,ωx+φ叫做相位,x=0时的相位φ称为初相.3.对称问题y=sinx图象的对称中心是(kπ,0),(k∈Z).对称轴方程是x= +kπ,(k∈Z).y=cosx图象的对称中心是 (k∈Z).对称轴方程是x=kπ,(k∈Z).考点陪练答案:A2.若f(x)=sin(ωx+φ)的图象(部分)如图所示,则ω和φ的取值是( )答案:C答案:C4.(2010·四川)将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( )答案:C答案:C类型一 “五点法”作图解题准备:根据三角函数的图象在一个周期内的最高点､最低点及与x轴的三个交点来作图,即先确定这五个点来作这个函数的图象.其一般步骤是: (1)令ωx+φ分别等于0, π, ,2π,求出对应的x值和y值,即求出对应的五点;(2)在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次连接,得函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的函数图象;(3)将所得图象向两边扩展,得y=Asin(ωx+φ)在R上的图象.【典例1】作出函数的一个周期内的图象.[分析]考查:“五点法”作图. [反思感悟]用“五点法”作正､余弦函数的图象要注意以下几点:①先将解析式化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式;②周期 ;③振幅A(A>0);④列出一个周期的五个特殊点;⑤描点､用平滑曲线连线.类型二三角函数的图象变换解题准备:三角函数的图象变换包括平移和伸缩两类变换,具体有以下三种变换:(1)相位变换:y=sinx的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位得到y=sin(x+φ)的图象.(2)周期变换:y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)到原来的倍(纵坐标不变),得到y=sinωx的图象. (3)振幅变换:y=sinx图象上所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(00)个单位,当向左平移则把x换成x+a,当向右平移则把x换成x-a,其他任何数值和符号不变,若将图上各点的横坐标伸长到原来的ω倍(ω>1),则只需将x换成 ,若将图象上各点的横坐标缩短到原来的 (ω>1),则只需将x换成ωx即可.类型三三角函数y=Asin(ωx+φ)的解析式解题准备:给出图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B的难点在于φ的确定,本质为待定系数法.基本方法是:①“五点法”,运用“五点”中的一点确定.②图象变换法,即已知图象是由哪个函数的图象经过变换得到的,通常可由零值点或最值点确定φ,有时从找“五点法”中的第一零值点作为突破口,要从图象的升降情况找准第一零值点的位置.【典例3】下图为y=Asin(ωx+φ)的图象的一段,求其解析式. [分析]确定A.若以N为五点法作图中的第一零点,由于此时曲线是先下降后上升(类似于y=-sinx的图象)所以A<0;若以M点为第一个零点,由于此时曲线是先上升后下降(类似于y=sinx的图象)所以A>0.而ω= ,φ可由相位来确定. (2)由此题两种解法可见,在由图象求解析式时,“第一零点”的确定是很重要的,尽量使A取正值,由f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一段图象,求其解析式时,A比较容易看图得出,困难的是求待定系数ω和φ,常用如下两种方法:①如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标,那么由ω= 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π)即可求出φ.②代入点的坐标.利用一些已知点(最高点､最低点或零点)坐标代入解析式,再结合图形解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求. (3)利用图象特征确定函数解析式y=Asin(ω+φ)+k或根据代数条件确定解析式时,要注意以下几种常用方法:①振幅A= (ymax-ymin).②相邻两个最值对应的横坐标之差,或者一个单调区间的长度为由此推出ω的值.③确定φ值,一般用给定特殊点坐标代入解析式确定.类型四三角函数图象的对称性解题准备:函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称问题(1)函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线x=xk(其中ωxk+φ=kπ+ ,k∈Z)成轴对称图形,也就是说波峰或波谷处且与x轴垂直的直线为其对称轴.(2)函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xj,0)(其中ωxj+φ=kπ,k∈Z)成中心对称图形,也就是说函数图象与x轴的交点(平衡位置点)是其对称中心.类型五三角函数模型的常见应用解题准备:三角函数能够模拟许多周期现象,因此在解决实际问题时有着广泛的应用.如果某种变化着的现象具有周期性,那么它就可以借助三角函数来描述,三角函数模型的常见类型有: (1)航海类问题.涉及方位角概念,方位角指的是从指正北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角度.还涉及正､余弦定理.(2)与三角函数图象有关的应用题.近年全国高考有一解答题正是此类应用题.(3)引进角为参数,利用三角函数的有关公式进行推理,解决最优化问题,即求最值.(4)三角函数在物理学中的应用.【典例5】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作:y=f(t).下表是某日各时的浪高数据:经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b的图象. (1)根据以上数据,求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T､振幅A及函数表达式;(2)依据规定,当海浪高度高于1米时才可对冲浪爱好者开放.请依据(1)的结论,判断一天内的8：00到20：00之间,有多少时间可供冲浪者进行运动? [解](1)由表中数据,知周期T=12.∴ω=由t=0,y=1.5,得A+b=1.5.①由t=3,y=1.0,得b=1.②由①②得A=0.5,b=1,∴振幅为∴ (2)由题知,当y>1时才可对冲浪者开放,∴ ∴ ∴2kπ- (k∈Z),即12k-3

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