高中数学人教版新课标A必修4第二章 平面向量综合与测试教案及反思

这是一份高中数学人教版新课标A必修4第二章 平面向量综合与测试教案及反思

高 三 数 学（第13讲）主讲教师：孙福明主审教师：高三数学组本讲进度《平面向量》复习二、本讲主要内容向量的概念； 2、向量的线性运算：即向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积等的定义，运算律； 3、向量运算的运用三、学习指导 1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法——有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。向量运算中的基本图形：①向量加减法则：三角形或平行四边形；②实数与向量乘积的几何意义——共线；③定比分点基本图形——起点相同的三个向量终点共线等。向量的三种线性运算及运算的三种形式。向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运算律加法：+=+，(+)+=+(+)实数与向量的乘积：λ(+)=λ+λ；(λ+μ)=λ+μ，λ(μ)=(λμ) 两个向量的数量积：·=·；(λ)·=·(λ)=λ(·)，(+)·=·+·说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(±)2=重要定理、公式 （1）平面向量基本定理；如果+是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量，有且只有一对数数λ1，λ2，满足=λ1+λ2，称λ1λ+λ2为，的线性组合。根据平面向量基本定理，任一向量与有序数对(λ1,λ2)一一对应，称(λ1,λ2)为在基底{，}下的坐标，当取{，}为单位正交基底{，}时定义(λ1，λ2)为向量的平面直角坐标。向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则=(x2-x1,y2-y1) （2）两个向量平行的充要条件符号语言：若∥，≠，则=λ坐标语言为：设=（x1,y1），=(x2,y2)，则∥(x1,y1)=λ(x2,y2)，即，或x1y2-x2y1=0在这里，实数λ是唯一存在的，当与同向时，λ>0；当与异向时，λ<0。|λ|=，λ的大小由及的大小确定。因此，当，确定时，λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。 （3）两个向量垂直的充要条件符号语言：⊥·=0坐标语言：设=(x1,y1), =(x2,y2)，则⊥x1x2+y1y2=0 （4）线段定比分点公式如图，设 则定比分点向量式：定比分点坐标式：设P（x,y），P1（x1,y1），P2（x2,y2）则特例：当λ=1时，就得到中点公式： ，实际上，对于起点相同，终点共线三个向量，，（O与P1P2不共线），总有=u+v，u+v=1，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为1。 （5）平移公式：点平移公式，如果点P（x，y）按=（h，k）平移至P’（x’，y’），则分别称（x，y），（x’，y’）为旧、新坐标，为平移法则在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中，已知两组坐标，一定可以求第三组坐标②图形平移：设曲线C：y=f(x)按=（h，k）平移，则平移后曲线C’对应的解析式为y-k=f(x-h)当h，k中有一个为零时，就是前面已经研究过的左右及上下移利用平移变换可以化简函数解析式，从而便于研究曲线的几何性质 （6）正弦定理，余弦定理正弦定理：余弦定理：a2=b2+c2-2cbcosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosc定理变形：cosA=，cosB=，cosC=正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本，理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。5、向量既是重要的数学概念，也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直，线线平行，求夹角等，特别是直角坐标系的引入，体现了向量解决问题的“程序性”特点。典型例题 例1、如图，，为单位向量，与夹角为1200， 与的夹角为450，||=5，用，表示。解题思路分析：以，为邻边，为对角线构造平行四边形把向量在，方向上进行分解，如图，设=λ，=μ，λ>0，μ>0则=λ+μ∵ ||=||=1∴ λ=||，μ=||OEC中，∠E=600，∠OCE=750，由得： ∴ ∴ 说明：用若干个向量的线性组合表示一个向量，是向量中的基本而又重要的问题，通常通过构造平行四边形来处理例2、已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向量坐标。解题思路分析：用解方程组思想设D（x，y），则=（x-2，y+1）∵=（-6，-3），·=0∴ -6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0 ①∵=(x-3，y-2)，∥∴ -6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0 ②由①②得：∴ D（1，1），=（-1，2）例3、求与向量=，-1）和=（1，）夹角相等，且模为的向量的坐标。 解题思路分析：用解方程组思想法一：设=（x，y），则·=x-y，·=x+y∵ <，>=<，>∴ ∴ 即 ①又||=∴ x2+y2=2 ②由①②得 或（舍）∴=法二：从分析形的特征着手∵ ||=||=2 ·=0∴ △AOB为等腰直角三角形，如图∵ ||=，∠AOC=∠BOC∴ C为AB中点∴ C（）说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分析图中的几何性质可以简化计算。例4、在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使||∶||=1∶3，||∶||=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记= ，=，用 ，表示向量。解题思路分析：∵ B、P、M共线∴ 记=s∴ ①同理，记∴ = ②∵ ,不共线∴ 由①②得解之得：∴ 说明：从点共线转化为向量共线，进而引入参数（如s，t）是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于s，t的方程。例5、已知长方形ABCD，AB=3，BC=2，E为BC中点，P为AB上一点利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED=450；若∠PED=450，求证：P、D、C、E四点共圆。解题思路分析：利用坐标系可以确定点P位置如图，建立平面直角坐标系则C（2，0），D（2，3），E（1，0）设P（0，y）∴ =（1，3），=（-1，y）∴ ·=3y-1代入cos450=解之得（舍），或y=2∴ 点P为靠近点A的AB三等分处当∠PED=450时，由（1）知P（0，2） ∴ =（2，1），=（-1，2） ∴·=0∴ ∠DPE=900又∠DCE=900∴ D、P、E、C四点共圆说明：利用向量处理几何问题一步要骤为：①建立平面直角坐标系；②设点的坐标；③求出有关向量的坐标；④利用向量的运算计算结果；⑤得到结论。同步练习选择题平面内三点A（0，-3），B（3，3），C（x，-1），若∥，则x的值为：-5 B、-1 C、1 D、5 2、平面上A（-2，1），B（1，4），D（4，-3），C点满足，连DC并延长至E，使||=||，则点E坐标为：A、（-8，） B、（） C、（0，1） D、（0，1）或（2，）点（2，-1）沿向量平移到（-2，1），则点（-2，1）沿平移到：A、（2，-1） B、（-2，1） C、（6，-3） D、（-6，3）△ABC中，2cosB·sinC=sinA，则此三角形是：直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、以上均有可能设，， 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：①(·)-(·)=0②||-||<|-|③(·)-(·)不与垂直④(3+2)·(3-2)=9||2-4|2中，真命题是：A、①② B、②③ C、③④ D、②④6、△ABC中，若a4+b4+c4=2c2(a2+b2)，则∠C度数是：A、600 B、450或1350 C、1200 D、3007、△OAB中，=，=，=，若=，t∈R，则点P在A、∠AOB平分线所在直线上 B、线段AB中垂线上C、AB边所在直线上 D、AB边的中线上8、正方形PQRS对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且=（0，3），=（4，0），则=A、（） B、（） C、（7，4） D、（）填空题 9、已知{，|是平面上一个基底，若=+λ，=-2λ-，若，共线，则λ=__________。10、已知||=，||=1，·=-9，则与的夹角是________。11、设，是两个单位向量，它们夹角为600，则(2-)·(-3+2)=____________。12、把函数y=cosx图象沿平移，得到函数___________的图象。解答题13、设=（3，1），=（-1，2），⊥，∥，试求满足+=的的坐标，其中O为坐标原点。14、若+=（2，-8），-=（-8，16），求、及与夹角θ的余弦值。15、已知||=，||=3，和夹角为450，求当向量+λ与λ+夹角为锐角时，λ的取值范围。参考答案 （一）1、C 2、B 3、D 4、B 5、D 6、B 7、A 8、A （二）9、 10、 11、 12、y=sinx+1 （三）13、（11，6） 14、=（-3，4），=（5，-12）， 15、λ<，或λ>且λ≠1运 算图形语言符号语言坐标语言加法与减法+=-=记=(x1,y1)，=(x1,y2)则+=(x1+x2,y1+y2) -=（x2-x1,y2-y1）+=实数与向量的乘积=λλ∈R记=(x,y)则λ=(λx,λy)两个向量的数量积·=||||cos<,>记=(x1,y1), =(x2,y2)则·=x1x2+y1y2