数学必修42.4 平面向量的数量积教案设计

第二十六教时

教材：复习五——平面向量的数量积的坐标表示、平移

目的：让学生对平面向量的数量积的理解更深刻，尤其在两个非零向量垂直与平行的充要条件的平行上更熟练。

过程：

一、        复习：设向量a = (x1,y1)，b = (x2,y2)，

1．    数量积的坐标表示：a•b = x1x2 + y1y2

2．    关于距离公式

3．     

二、         例题：

1．    已知|a| = 3，b = (1,2)，且a∥b，求a的坐标。

解：设a = (x,y)  ∵|a| = 3   ∴…①

又：∵a∥b     ∴1•y  2•x = 0 …②

解之：  或 

即：a = () 或a = ()

2．    设p = (2,7)，q = (x,3)，求x的取值范围使得：

①p与q的夹角为钝角     ②p与q的夹角为锐角。

解：①p与q的夹角为钝角 p•q<02x21<0即x(∞,)

    ②p与q的夹角为锐角 p•q>02x21>0即x(,+∞)

3．    求证：菱形的对角线互相垂直。

证：设B(b1,0)，D(d1,d2)，

则= (b1,0), = (d1,d2)

于是=+= (b1,0) + (d1,d2) = (b1+d1,d2)

== (d1 b1,d2)

∵•= (b1+d1)(d1 b1) + d2d2 = (d12 + d22) b12

= ||2  b12 = ||2  b12 = b12  b12 = 01

              ∴

4．    如图：ABCD是正方形，M是BC的中点，

将正方形折起使点A与M重合，设折痕为EF，

若正方形面积为64，求△AEM的面积。

解：如图，建立直角坐标系，

显然EF是AM的中垂线，

∴N是AM的中点，又正方形边长为8    ∴M(8,4),  N(4,2)

设点E(e,0)，则=(8,4)，=(4,2)，=(e,0)，=(4e,2)，

由 得：•= 0  即：(8,4)•(4e,2) = 0

解之：e = 5 即|| = 5  ∴S△AEM =|||| =×5×4 = 10

5．    求证：cos() = coscos + sinsin

证：设、终边上以原点为起点的向量分别为a、b，夹角为，

则  = 2k±  (kZ)

∵a = (|a|cos, |a|sin)   b = (|b|cos, |b|sin)

∴a•b = |a|cos•|b|cos + |a|sin•|b|sin =|a||b|(coscos + sinsin)

又：∴a•b = |a||b|cos = |a||b|cos[2k±()] = |a||b|cos ()

∴|a||b|(coscos + sinsin) = |a||b|cos ()

∵a  0 ,  b  0   ∴cos() = coscos + sinsin

6．    将点A(3,2)平移到点P(2,4)，按此方式，若点B平移后的坐标为(5,1)，试求点B的坐标。

解：依题意：平移向量a = = (5,6)，

设B的坐标为(x,y)，由平移公式：

即点B坐标为(10,7)

7．    将函数 y = 2x2 的图象经过怎样的平移可得到 y = 2x2  4x + 3的图象？

解：y = 2x2  4x + 3 = 2(x  1)2 +1

即向右平移1个单位，再向上平移1个单位，

即按a = (1,1)的方向平移即得的图象。

8．    已知函数 y = 2(x  2)2 1的图象经过按a平移后使得抛物线顶点在y轴上，且在x轴上截得的弦长为4，求平移后函数解析式和a。

解：依题意：平移后的函数解析式为：y = 2x2 + n

平移前顶点为(2,1)，平移后顶点为(0,n)，

∴a = (02,n(1)) = (2,n+1)

在y = 2x2 + n中, 令y = 0，x =±；

∵函数在x轴上截得的弦长为4   ∴= 2，∴n = 8，

∴平移后的解析式为：y = 2x2 + 8，且a = (2,9)。

三、         作业： 《导学•创新》   §5.7    §5.8