高中数学人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积教案设计
展开第十五教时
教材：平面向量的数量积平移的综合练习课
目的：使学生对平面向量数量积的意义、运算有更深的理解，并能较熟练地处理有关长度、角度、垂直的问题。
过程：
复习：
1．平面向量数量积的定义、运算、运算律
2．平面向量数量积的坐标表示，有关长度、角度、垂直的处理方法
3．平移的有关概念、公式
一、 例题
例一、a、b均为非零向量，则 |a+b| = |ab| 是 的………………（C）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：若|a+b| = |ab| |a+b|2 = |ab|2 |a|2 + 2ab + |b|2 = |a|2 2ab + |b|2
ab = 0 ab
例二、向量a与b夹角为，|a| = 2，|b| = 1，求|a+b||ab|的值。
解：|a+b|2 = |a|2 + 2ab + |b|2 = 4 + 2×2×1×cos + 1 = 7
∴|a+b| =, 同理：|ab|2 = 3, |ab| = ∴|a+b||ab| =
例三、 ABCD中，= a，= b，= c，= d，
且ab = bc = cd = da，问ABCD是怎样的四边形？
解：由题设：|a||b|cosB = |b||c|cosC = |c||d|cosD = |d||a|cosA
∵|a| = |c| , |b| = |d| ∴cosA = cosB = cosC = cosD = 0
∴ ABCD是矩形
例四、 如图△ABC中，= c，= a，= b，
则下列推导不正确的是……………（D）
A．若a b < 0，则△ABC为钝角三角形。
B．若a b = 0，则△ABC为直角三角形。
C．若a b = bc，则△ABC为等腰三角形。
D．若c(a + b + c) = 0，则△ABC为正三角形。
解：A．ab = |a||b|cos < 0，则cos < 0，为钝角
B．显然成立
C．由题设：|a|cosC = |c|cosA，即a、c在b上的投影相等
D．∵a + b + c = 0, ∴上式必为0，∴不能说明△ABC为正三角形
§X§K]
例五、 已知：|a| =，|b| = 3，a与b夹角为45，求使a+b与a+b夹角为锐角的的取值范围。
解：由题设：ab = |a||b|cos = 3××= 3
(a+b)(a+b) =|a|2 +|b|2 + (2 + 1)ab = 32 + 11 + 3
∵夹角为锐角 ∴必得32 + 11 + 3 > 0
∴ 或
例六、i、j是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量，
且= 4i + 2j，=3i + 4j，
证明：△ABC是直角三角形，并求它的面积。
解：= (4, 2), = (3, 4), 则= (34, 42) = (1, 2), = (4, 2),
∴= (1)×(4) + (2)×2 = 0 ∴
即△ABC是直角三角形
|| =, || =, 且B = 90,
∴S△ABC =
例七、用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。
证：设== a , == b
∵ABCD为菱形 ∴|a| = |b|
∴= (b + a)(b a) = b2 a2 = |b|2 |a|2 = 0
∴
例八、已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a 5b垂直，
a 4b与7a 2b垂直，求a与b的夹角。
解：由(a + 3b)(7a 5b) = 0 7a2 + 16ab 15b2 = 0 ①
(a 4b)(7a 2b) = 0 7a2 30ab + 8b2 = 0 ②
两式相减：2ab = b2
代入①或②得：a2 = b2
设a、b的夹角为，则cos = ∴ = 60
二、 作业： P150 复习参考五 A组 19—26
B组 1—6
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