人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积教学设计

这是一份人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积教学设计，共4页。教案主要包含了复习引入，新课讲解，课堂练习，知识小结，课后作业等内容，欢迎下载使用。
§2.4平面向量的数量积2．4．1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目标： 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量数量积的定义，用平面向量的数量积表示向量的模、夹角。教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。授课类型：新授课教    具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识。主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的3个重要性质；平面向量数量积的运算律.教学流程：概念引入→概念获得→简单运用→算律探究→理解掌握→反思提高教学过程：一、复习引入问题1：回忆一下物理中“功”的计算，功的大小与哪些量有关？结合向量的学习你有什么想法？力做的功：W = ||||cos，是与的夹角.（引导学生认识功这个物理量所涉及的物理量，从“向量相乘”的角度进行分析）二、新课讲解1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定：0与任何向量的数量积为0.问题2：定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果还是向量吗？（引导学生认清向量数量积运算定义中既涉及向量模的大小，又涉及向量的交角，运算结果是数量）注意：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc  a=c.但是ab = bc a = c    如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA| ab = bc  但a  c (5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c  a(bc)                显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.（ “投影”的概念）：作图 2．定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|.3．向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.例题1： 探究1：非零向量的数量积是一个数量，那么它何时为正，何时为0 ,何时为负？当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正；当θ =90°时a·b为零。90°＜θ ≤180°时a·b为负探究2：两个向量的夹角决定了它们数量积的符号，那么它们共线或垂直时，数量积有什么特殊性呢？4．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量.（1）ab  ab = 0（2）当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或（3）  |ab| ≤ |a||b|公式变形：cos =探究3：对一种运算自然会涉及运算律，回忆过去研究过的运算律，向量的数量积应有怎样的运算律？（引导学生类比得出运算律，老师作补充说明）向量a，b，c 和实数λ，有 （1）  a b= b a  （2）（λa） b= λ（a b ）= a （λb） （3）（a +b） c = a· c+ b c（进一步）你能证明向量数量积的运算律吗？（引导学生证明（1）、（2））例2 已知|a|=6， |b|=4，a·b =12，求（1）ａ与ｂ的夹角；（2）|a+b|；（3） (a+2b)·(a-3b).例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直. 例4（适时补充） 判断正误：①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.上述8个命题中只有③⑧正确；评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.三、课堂练习1.已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（    ）A.60°         B.30°          C.135°         D.４５°2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（   ）A.2            B.2          C.6            D.123.已知a、b是非零向量，若|a|=|b|则(a+b)与(a-b)         。4.已知向量a、b的夹角为，|a|=2，|b|=1，则|a+b|·|a-b|=            .5.已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么a·b=           .6.已知a⊥b，c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则(a+2b-c)２＝______.7.已知|a|=1，|b|=，(1)若a∥b，求a·b；(2)若a、b的夹角为６０°，求|a+b|；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角.8.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.9.对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角.四、知识小结（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？（2）关于向量的数量积，你还有什么问题？五、课后作业  P108   习题2.4  A组  1,2,3,6,7教学后记：数学课堂教学应当是数学知识的形成过程和方法的教学，数学活动是以学生为主体的活动，没有学生积极参与的课堂教学是失败的。本节课教学设计按照“问题——讨论——解决”的模式进行，并以学生为主体，教师以课堂教学的引导者、评价者、组织者和参与者同学生一起探索平面向量数量积定义、性质和运算律的形成与发展过程。始终做到以“学生为主体、教师为主导、思维为主攻、训练为主线”。1．教学评价①本节课通过问题1～2、探究1～3评价学生基础知识、基本技能掌握情况以及灵活运用所学知识的综合能力，同时测评出教学效果；②在学生探究的过程中，通过师生、生生交流及时了解学生的学习状况，吸收教学的反馈信息，激励学生努力学习；对表现不好的同学给予鼓励并进行跟踪，鼓励学生勇于发表自己的见解，并大胆去尝试，实施赏识教育；③让学生上台板演向量数量积例题和练习，获得学生推导、应用定义、性质和运算律的信息，以便及时调控教学；④通过小结中学生的自评、互评，让内部动机和外界刺激协调作用，促进其数学素养不断提高。2．教学反思①这是一节介绍新知识的的课，本节内容非常有利于展现知识的形成过程，力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”；②在展现知识的形成过程中，尽量避免让学生被动接受，而应采取探究式，引导学生探索，重视探索过程；③通过特殊到一般进行观察归纳、合情推理，探求定义、性质和运算律。在整个探求过程中，充分利用“旧知识”及“旧知识形成过程”，并利用它探求新知识。这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程；④在课堂上运用问题，使教学富有情趣性、激励性，同时通过问题和建议调控研究的方向与进程；通过问题和提示，帮助学生渡过学习上的难关。