山东省数学(人教A)必修五第一章《解三角形》章末质量评估 试卷
展开章末质量评估(一)(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在△ABC中,a=4,b=4,角A=30°,则角B等于 ( ).A.30° B.30°或150°C.60° D.60°或120°解析 根据正弦定理得,sin B===.∵b>a,∴B>A=30°,∴B=60°或120°.答案 D2.(2011·福州高二检测)在△ABC中,a=1,A=30°,B=60°,则b等于 ( ).A. B. C. D.2解析 由正弦定理知=,故=,解之得b=,故选C.答案 C3.在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶4,则cos C的值为 ( ).A. B.- C. D.-解析 由正弦定理及sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶4知,a∶b∶c=3∶2∶4,令a=3x,则b=2x,c=4x(x>0),根据余弦定理得,cos C===-.答案 D4.在△ABC中,若==,则△ABC是 ( ).A.直角三角形 B.等边三角形C.钝角三角形 D.等腰直角三角形解析 由正弦定理,原式可化为==,∴tan A=tan B=tan C.又∵A,B,C∈(0,π),∴A=B=C.∴△ABC是等边三角形.答案 B 5.已知锐角三角形的边长分别为2,4,x,则x的取值范围是 ( ).A.1<x< B.<x<C.1<x<2 D.2<x<2解析 由题意,x应满足条件解得:2<x<2.答案 D6.已知三角形的两边长分别为4,5,它们夹角的余弦是方程2x2+3x-2=0的根,则第三边长是 ( ).A. B. C. D.解析 设长为4,5的两边的夹角为θ,由2x2+3x-2=0得:x=,或x=-2(舍).∴cos θ=,∴第三边长为 =.答案 B7.在△ABC中,若A=120°,AB=5,BC=7,则的值为 ( ).A. B. C. D.解析 由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A,即72=52+AC2-10AC·cos 120°,∴AC=3.由正弦定理得==.答案 D8.已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的外接圆的直径为 ( ).A.4 B.5 C.5 D.6解析 ∵S△ABC=acsin B,∴c=4,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B=25,∴b=5.由正弦定理2R==5(R为△ABC外接圆的半径),故选C.答案 C9.在△ABC中,AB=3,A=60°,AC=4,则边AC上的高是 ( ).A. B. C. D.3解析 ∵A=60°,∴sin A=.∴S△ABC=AB·AC·sin A=×3×4×=3.设边AC上的高为h,则S△ABC=AC·h=×4×h=3,∴h=.答案 B10.(2011·龙山高二检测)已知△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为 ( ).A. B. C. D.解析 p∥q⇒(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,即c2-a2-b2+ab=0⇒==cos C,∴C=.答案 B二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)11.在△ABC中,若B=60°,a=1,S△ABC=,则=________.解析 把已知条件代入面积公式S△ABC=acsin B得c=2.由余弦定理b2=a2+c2-2accos B=3,∴b=.由正弦定理==2.答案 212.在△ABC中,若AB=,AC=5,且cos C=,则BC=________.解析 设BC=x,则根据余弦定理得,AB2=AC2+BC2-2·AC·BCcos C,即5=25+x2-2×5·x·,∴x2-9x+20=0,∴x=4或x=5.答案 4或513.(2011·洛阳高二检测)在△ABC中,若b=a,B=2A,则△ABC为________三角形.解析 由正弦定理知sin B=sin A,又∵B=2A,∴sin 2A=sin A,∴2sin Acos A=sin A,∴cos A=,∴A=45°,B=90°.故△ABC为等腰直角三角形.答案 等腰直角14.一船以每小时15 km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°,行驶4 h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为________ km.解析 如图,由已知条件,得AC=60 km,∠BAC=30°,∠ACB=105°,∠ABC=45°.由正弦定理BC==30 (km)答案 30三、解答题(本大题共5小题,共54分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(10分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若sin2B+sin2C=sin2A+sin Bsin C,且·=4,求△ABC的面积S.解 由已知得b2+c2=a2+bc,∴bc=b2+c2-a2=2bccos A,∴cos A=,sin A=.由·=4,得bccos A=4,∴bc=8,∴S=bcsin A=2.16.(10分)为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点周围1千米处不能收到手机信号,检查员抽查青岛市一考点,在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以每小时12千米的速度沿公路行驶,问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合格?解 如图所示,考点为A,检查开始处为B,设公路上C,D两点到考点的距离为1千米.在△ABC中,AB=≈1.732(千米),AC=1(千米),∠ABC= 30°,由正弦定理sin∠ACB=·AB=,∴∠ACB=120°(∠ACB=60°不合题意),∴∠BAC=30°,∴BC=AC=1(千米),在△ACD中,AC=AD,∠ACD=60°,∴△ACD为等边三角形,∴CD=1(千米).∵×60=5,∴在BC上需5分钟,CD上需5分钟.所以最长需要5分钟检查员开始收不到信号,并持续至少5分钟才算合格.17.(10分)在△ABC中,若8·sin2-2cos 2A=7.(1)求角A的大小;(2)如果a=,b+c=3,求b,c的值.解 (1)∵=-,∴sin =cos ,∴原式可化为8cos2-2cos 2A=7,∴4cos A+4-2(2cos2A-1)=7,∴4cos2A-4cos A+1=0,解得cos A=,∴A=60°.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,∴b2+c2-bc=3.又∵b+c=3,∴b=3-c,代入b2+c2-bc=3,并整理得c2-3c+2=0,解之得c=1或c=2,∴或18.(12分)在△ABC中,若sin(C-A)=1,sin B=.(1)求sin A的值;(2)设AC=,求△ABC的面积.解 (1)由sin(C-A)=1知,C-A=,且C+A=π-B,∴A=-,∴sin A=sin=,∴sin2A=(1-sin B)=,又sin A>0,∴sin A=.(2)由正弦定理得=,∴BC===3,由(1)知sin A=,∴cos A=.又sin B=,∴cos B=.又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=,∴S△ABC=AC·BC·sin C=××3×=3.19.(12分)在△ABC中,已知sin B=cos Asin C,·A=9,又△ABC的面积等于6.(1)求C; (2)求△ABC的三边之长.解 (1)设三角形三内角A,B,C对应的三边分别为a,b,c,∵sin B=cos Asin C,∴cos A=,由正弦定理有cos A=,又由余弦定理有cos A=,∴=,即a2+b2=c2,所以△ABC为Rt△ABC,且C=90°.(2)又 ②÷①,得tan A==,令a=4k,b=3k(k>0),则S△ABC=ab=6⇒k=1,∴三边长分别为a=4,b=3,c=5.