数学必修42.3 平面向量的基本定理及坐标表示导学案及答案

§2.3.1平面向量基本定理

§2.3.2平面向量正交分解及坐标表示

学习目标

1. 掌握平面向量基本定理；了解平面向量基本定理的意义；

2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P93—P96）

复习1：向量、是共线的两个向量，则、之间的关系可以表示为        .

复习2：给定平面内任意两个向量、，请同学们作出向量、.

二、新课导学

※ 探索新知

探究：平面向量基本定理

问题1：复习2中，平面内的任一向量是否都可以用形如的向量表示呢？

1. 平面向量的基本定理:

如果,是同一平面内两个      的向量， 是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数使                 。其中，不共线的这两个向量叫做表示这一平面内所有向量的基底。

注意：

(1) 我们把不共线向量，叫做表示这一平面内

所有向量的一组基底；

(2) 基底不惟一，关键是不共线；

(3) 由定理可将任一向量在给出基底，的条件下进行分解；

 (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量

问题2：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？

2.两向量的夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量，作，则        叫做向量与的夹角。如果则的取值范围是            。

当               时，表示与同向；

当             时，表示与反向；

当               时，表示与垂直。记作：.

在不共线的两个向量中，，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为_____________，叫做把向量正交分解。

问题3：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示. 对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？

3、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个_______作为基底。对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y使得____________，这样，平面内的任一向量都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作___________此式叫做向量的坐标表示，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。几个特殊向量的坐标表示

※ 典型例题

学法引领：首先画图分析，然后寻找表示。

例1、已知梯形中，，且，、分别是、的中点，设，。试用为基底表示、.

例2、已知是坐标原点，点在第一象限，，，求向量的坐标.

三、小结反思

1、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步应用向量解决实际问题；

  2、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示

3、向量的坐标表示的理解及运算的准确性.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（    ）.

A. 很好   B. 较好   C. 一般   D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1、已知点A的坐标为（2，3），点B的坐标为

（6，5），O为原点，则=________，=_______。

2、已知向量的方向与x轴的正方向的夹角是30°，且，则的坐标为__________。

3、已知两向量、不共线，，，若与共线，则实数=     .

4. 设是平行四边形两对角线与的交点，下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面表示所有向量的基底是（    ）

①与②与③与④与

  A.①②     B.③④     C.①③        D.①④

5、已知ＡＭ是△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若＝，＝，则＝（　　）

Ａ．（ － ）   Ｂ．　－（ － ）

Ｃ．－（ ＋）  Ｄ．（ ＋）

课后作业

1、在矩形中，与交于点，若，，则等于多少？

2．     已知点A（2，2），  B（-2，2），  C（4，6） ，

D（-5，6），  E（-2，-2），  F（-5，-6）

在平面直角坐标系中，分别作出向量并求向量的坐标。