《直接证明与间接证明》文字素材2（人教A版选修2-2）

例谈数学归纳法一、要点扫描1．数学归纳法证题步骤 （1）证明当取第一个值时命题成立； （2）假设时命题成立，证明当时命题也成立。其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳奠基”；第二步解决的是延续性问题，又称“归纳递推”。运用数学归纳法证明有关问题应注意以下几点： ①两个步骤缺一不可； ②在第一步中，的初始值不一定以1取起，也不一定只取一个数（有时需取等），证明应视具体情况而定； ③第二步中证明时，必须使用归纳假设，否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系，造成推理无效。 ④证明成立时，要明确求证的目标形式，一般要凑出归纳假设里给出的形式，以便使用归纳假设，然后再去凑出当时的结论，这样就能有效减少论证的盲目性。  2．运用数学归纳法时易犯的错误  （1）对项数估算的错误，特别时寻找与的关系时，项数发生什么变化被弄错。  （2）没有利用归纳假设，归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。  （3）关键步骤含混不清，“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。  二、范例剖析  例1  用数学归纳法证明。  分析：要证等式的左边共项，右边共项，与相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同。因此，由“”到“”时要注意项的合并。  证明：（1）当时，左边，右边，命题成立。  （2）假设当时命题成立，即  那么当时，左边    。  上式表明，当时命题也成立。  由（1）和（2）知，命题对一切自然数均成立。  评注：用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与的取值是否有关，由到时，等式两边会增加多少项。例2  比较与的大小（）  分析：我们可从特例入手，探求与的大小关系。  解析：当时，，即；  当时，，即；  当时，，即；  当时，，即；  当时，，即；  当时，，即；    ……   猜测：当时，。  下面用数学归纳法证明猜测成立。  （1）当时，由上式可知猜测成立。  （2）当时，命题成立，即，  ∴，即当时命题也成立。  由（1）和（2）可知，当时，。  评注：应用数学归纳法证题时，第一个步骤中的初始值是使命题成立的最小自然数，这个自然数不一定是1。例3  用数学归纳法证明：能被17整除。  分析：用用数学归纳法证整除性问题，关键是由配凑出的部分。  证明：（1）当时，，故能被17整除。  （2）设时，命题成立，即能被17整除，则 当时，。  由归纳假设可知，能被17整除，又显然可被17整除，故能被17整除。  由可知，对任意正整数，能被17整除。  评注：整除性问题的数学归纳法的证明，其关键是配凑，而配凑的方法很多，其关键是之假定的运用。