《回归分析的基本思想及其初步应用》文字素材3（人教A版选修2-3）

回归直线方程的推导    设x与y是具有线性相关关系的两个变量，且相应于样本的一组观测值的n个点的坐标分别是：，下面给出回归方程的推导。    设所求的回归方程为，其中是待确定的参数，那么：，（），样本中各个点的偏差是    ，（）显然，上面的各个偏差的符号有正、有负，如果将他们相加会相互抵消一部分，，因此他们的和不能代表n个点与回归直线在整体上的接近程度，而是采用n个偏差的平方和来表示n个点与相应直线（回归直线）在整体上的接近程度。 即＝求出当取最小值时的的值，就求出了回归方程。   （一） 先证明两个在变形中用到的公式：公式（1）       其中    因为＝＝＝＝　所以公式（２）   　　因为＝＝＝＝＝　　所以　　（二）推导：将的表达式的各项先展开，再合并、变形　            -----展开  -----以a，b为同类项，合并 --以a，b的次数为标准整理        --将数据转化为平均数             ---配方法     ---展开     ---整理-----用公式（一）、（二）变形     ---配方                                                                  在上式中，共有四项，后两项与a，b无关，为常数；前两项是两个非负数的和，因此要使得区的最小值，当且仅当前两项的值都为0。所以       或                   ------用公式（一）、（二）变形得    （三）总结规律：上述推倒过程是围绕着待定参数a，b进行的，只含有的部分是常数或系数，用到的方法有（1）配方法，有两次配方，分别是a的二次三项式和b的二次三项式；（2）变形时，用到公式（一）、（二）和整体思想；（3）用平方的非负性求最小值。(4)实际计算时，通常是分步计算：先求出，再分别计算， 或，的值，最后就可以计算出a，b的值。    小练习：(1)验证当样本数据只有两个点时的回归方程；(2)当样本数据有三个点，是（），（），（）时，试推导回归方程。