《空间向量及其运算》文字素材2（人教A版选修2-1）

《向量及向量的加法与减法》误区何在 由于向量具有几何与代数两个方面的特征，因此，对向量及相关概念的理解上易混同于实数，向量加法与减法容易混淆于代数的加法与减法，即容易混淆其几何与代数性质而造成错误.下面举例说明.误区一：混淆向量与实数0例2在下列四个不等式中，正确等式的个数是(    )①－＝0；②＋＝；③若＝，＝，则＋＝0；④||－||＝A.1    B.2    C.3     D.4错解：四个式子都正确 ，故选D.剖析：①错：因为两个向量相减仍是向量，－应得向量；②式正确；③错：因为两个零向量之和为零向量，④错：因为向量的长度是实数，它们的差||－||应是实数0，因而正确答案应选A.特别提醒：对向量概念的理解及进行向量运算时要注意与数量及数量运算的区别：向量的加减运算结果仍是向量，数量的加减运算结果仍是数量.误区二：混淆向量平行与直线平行例2下列命题中正确的命题个数是（　　　）①若∥且∥，则∥；②若∥，则直线AB∥CD；③若与共线，则A、B、C、D四点共线.A.0    B.1    C.2    D.3错解：全部正确，选D.剖析：①错：因为与直线平行的传递性混淆所致.若＝，则与可以为任意向量，因此得不到∥；②错：这是因为把平行向量的概念与平行直线的概念等同所致.因为∥只能说明这两个向量的方向相同或相反，所以当A、B、C、D四点在一条直线上时，可得∥，但不能得出AB∥CD.③错：错误原因是把向量共线与平面几何中的线段共线等同.在平面几何中，若AB与CD共线，可得A、B、C、D四点共线；而与共线，即与是平行向量，与的方向相同或相反即可，当然A、B、C、D四点不一定共线.特别提醒：注意平行向量与平行直线、共线向量与线段共线是既有联系又有区别的，在解题时不能等同.误区三：混淆路程和位移的概念例3一架飞机向北飞行300km，然后改变方向向西飞行300km，最后又改变方向再向北飞行300km，求飞机飞行三次位移和.错解：300×3＝900(km)，即飞机飞行三次的位移和为900km.剖析：上述解法混淆了路程和位移的概念，路程只有大小，没有方向，而位移是向量，既有大小又有方向，其运算遵循平行四边形法则或三角形法则.正解：如图1所示，||＝||＝||＝300，||＝300，||＝600,故||＝＝300，tan∠EAD＝＝＝2，故∠EAD＝arctan2，因为＋＋＝，所以飞机飞行三次位移的和是，它的大小是300km，方向是西偏北arctan2.特别提醒：在物理学中除位移外，还有许多物理量都属于向量，如速度、加速度、力等，因此在利用向量解答与物理学中相关的量问题时，一定要弄清楚量的性质.误区四：忽视向量减法的几何意义例4计算：(1)如图2，求－；(2)如图3，求－；(2)如图4，求－.错解：(1)－＝；(2)－＝；(3)－＝.剖析：错解错误的原因是不理解向量减法的几何意义，要求两个向量的差，应该将它们的起点平移至同一个点，然后将它们的终点连结起来，并且指向被减向量.正解：(1)－＝.(2)如图5，过点A作＝，则－＝－＝.(3)如图6，过点A作＝，则－＝－＝.特别提醒：利用三角形法则进行向量的减法运算时注意两点，一是两个向量共起点，二是所得向量方向指向被减向量的终点；利用三角形法则进行加法运算时也要注意两点，一是向量必须首尾相接，二是所得向量方向指向最后一个向量的终点.误区五：错用实数运算律或运算法则例5如图7，已知矩形ABCD，||＝1，||＝2，设＝，＝，＝，则|＋＋|＝______.错解：|＋＋|＝||＋||＋||＝3＋. 剖析：上述解法受实数运算律和运算法则的影响致错.由向量的三角形法则有|＋＋|＝|＋＋|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝4.特别提醒：在向量的加减法运算中要善于运用向量的加法运算的交换律、结合律，向量加法的三角形法则，及加减法的互化等法则，千万莫与实数的运算律或运算法混淆.