高二数学 《导数及其应用》（二） 新人教A版选修2－2
展开《数学选修2-2》导数及其应用(二)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)
1、函数在处取到极值,则的值为 ( )
2、函数的单调递增区间是 ( )
A. B.(0,3) C.(1,4) D.
3、函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的( )
A.充分条件 B.必要条件 C.必要非充分条件 D.充要条件
4、函数的最大值为( )
A. B. C. D.
5、函数的大致图象为 ( )
6、设函数则( )
A.在区间内均有零点
B.在区间内均无零点
C.在区间内无零点,在区间内有零点
D. 在区间内有零点,在区间内无零点
7、等比数列中,,前三项和,则公比的值为 ( )
A.或 B.或 C. D.
8、已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9、函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点( )
A.个 B.个
C.个 D.个
10、函数 ( )
A.有最大值,但无最小值 B.有最大值、最小值
C.无最大值、最小值 D.无最大值,有最小值
11、方程在内根的个数有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
12、的值为( )
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)
13、直线与抛物线所围成的图形面积是___________________.
14、若在上是增函数,则的关系式为是
15、函数在时有极值,那么的值分别为________.
16、设,当时,恒成立,则实数的
取值范围为
三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)
17、(12分)
已知函数,当时,有极大值.
(1)求的值;
(2)求函数的极小值.
18、(12分)
已知,,是否存在实数,使同时满足下列两个条件:(1)在上是减函数,在上是增函数;(2)的最小值是,若存在,求出,若不存在,说明理由.
19、(12分)
统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)关于行驶速度(千米/小时)的函数解析式可以表示为:已知甲、乙两地相距100千米.
(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
20、(12分)
已知函数,求导函数,并确定的单调区间.
21、(12分)
已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.
(1)求b的值;
(2)若在处取得最小值,记此极小值为,求的定义域和值域.
22、(14分)
如右图,设由抛物线与过它的焦点F的
直线所围成封闭曲面图形的面积为(阴影部分).
(1)设直线与抛物线交于两点,且
,直线的斜率为,试用表示;
(2)求的最小值.
参考答案
1.B ,,∴.
2.D ,令,解得
3.C 对于不能推出在取极值,反之成立
4.A 令,当时,;
当时,,,在定义域内只有一个极值,所以
5.D 函数的图象关于对称,排队A、C,当时,为减函数.
6.C由题得,令得;令得;得,故知函数在区间上为减函数,在区间为增函数,在点处有极小值;又,,.
7.A ＝18,∴或.
8.B 在恒成立,
9.A 极小值点应有先减后增的特点,即.
10.D 上单调递减,所以无最大、
最小值.
11.B 令＝,∴,
由得或;由得;又
,∴方程在内只有一实根.
12.C 令∴,
所以.
13. 直线与抛物线的交点坐标为(－1,1)和(3,9),
则
14. 由恒成立,
则.
15. ,
,当时,不是极值点.
16. 易知时,,由恒成立,所以
17.解:(1)当时,,
即
(2),令,得
18.解:设,∵在上是减函数,在上是增函数,
∴在上是减函数,在上是增函数,
∴,∴,解得
经检验,时,满足题设的两个条件.
19.解:(1)当时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,
要耗没(升).
(2)当速度为千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为升,
依题意得
令得
当时,是减函数;
当时,是增函数.
当时,取到极小值
因为在上只有一个极值,所以它是最小值.
答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升.当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.
20..
令,得.
当,即时,的变化情况如下表:
0 |
当,即时,的变化情况如下表:
0 |
所以,当时,函数在上单调递减,在上单调递增,
在上单调递减.
当时,函数在上单调递减,在上单调递增,在 上单调递减.
当,即时,,所以函数在上单调递减,在上单调递减.
21.解: (1).因为函数的图象关于直线x=2对称,
所以,于是
(2)由(Ⅰ)知,,.
(ⅰ)当c 12时,,此时无极值.
(ii)当c<12时,有两个互异实根,.不妨设＜,则＜2＜.
当x＜时,, 在区间内为增函数;
当＜x＜时,,在区间内为减函数;
当时,,在区间内为增函数.
所以在处取极大值,在处取极小值.
因此,当且仅当时,函数在处存在唯一极小值,所以.
于是的定义域为.由 得.
于是 .
当时,所以函数
在区间内是减函数,故的值域为
22.解:(1)可得点,设直线的方程为直线与抛物线交于两点
,由,得,
∴,,又,
∴.
(2)所求的面积:=
=
=
=
令,则,有,==
在上为单调递增函数,∴当,即时,有最小值.
