人教版新课标A选修2-2第一章 导数及其应用综合与测试课文内容课件ppt

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第一章 导数及其应用2．导数的意义(1)几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．(2)物理意义：函数s＝s(t)在点t处的导数s′(t)，就是当物体的运动方程为s＝s(t)时，运动物体在时刻t时的瞬时速度v，即v＝s′(t)．而函数v＝v(t)在t处的导数v′(t)，就是运动物体在时刻t时的瞬时加速度a，即a＝v′(t)．3．利用导数的几何意义求切线方程利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1) ①又y1＝f(x1) ②由①②求出x1，y1的值．即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．[分析]　根据导数的几何意义可知，欲求y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率，即求f′(1)，即可得所求斜率．[例2]　已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直线m：y＝kx＋9，又f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．[分析]　直线y＝kx＋9过定点(0,9)，可先求出过点(0,9)与y＝g(x)相切的直线方程，再考查所求直线是否也是曲线y＝f(x)的切线．当x＝0时，f(0)＝－11，此时切线方程为y＝12x－11；当x＝1时，f(1)＝2，此时切线方程为y＝12x－10.所以y＝12x＋9不是公切线．由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，即有x＝－1，或x＝2.当x＝－1时，f(－1)＝－18，此时切线方程为y＝－18；当x＝2时，f(2)＝9，此时切线方程为y＝9.所以y＝9是公切线．综上所述，当k＝0时，y＝9是两曲线的公切线.1.利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：(1)求导数f′(x)；(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)确定并指出函数的单调增区间、减区间．特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．2．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)的导数f′(x)>0总成立，则该函数在(a，b)上单调递增；f′(x)<0总成立，则该函数在(a，b)上单调递减，求函数的单调区间转化为解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.[分析]　本题考查了导数的概念、导数的应用以及函数与方程的关系问题．考查了学生对导数的理解运算能力，运用导数分析研究函数的能力，体现了分类讨论思想，数形结合思想，等价变换思想，函数与方程的思想．利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用．1．应用导数求函数极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值．否则，此根不是f(x)的极值点．2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．[例4]　已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极小值－4，使其导函数f′(x)>0的x的取值范围为(1,3)．(1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值；(2)当x∈[2,3]时，求g(x)＝f′(x)＋6(m－2)x的最大值．[解析]　(1)由题意知f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3a(x－1)(x－3)(a<0)，∴在(－∞，1)上f′(x)<0，f(x)是减函数，在(1,3)上f′(x)>0，f(x)是增函数，在(3，＋∞)上f′(x)<0，f(x)是减函数．因此f(x)在x0＝1处取极小值－4，在x＝3处取得极大值．(2)g(x)＝－3(x－1)(x－3)＋6(m－2)x＝－3(x2－2mx＋3)，g′(x)＝－6x＋6m＝0，得x＝m.①当2≤m≤3时，g(x)max＝g(m)＝3m2－9；②当m<2时，g(x)在[2,3]上是递减的，g(x)max＝g(2)＝12m－21；已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法，一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法，利用导数法更为简捷．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f′(x)≥0或(f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f(x)是否满足题意．[例5]　设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．(1)求a、b的值；(2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2,3)时，f′(x)>0.所以当x＝1时，f(x)取极大值，f(1)＝5＋8c.又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，则当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)9.因此c的取值范围是(－∞，－1)∪(9，＋∞).利用导数求函数的极大(小)值，求函数在区间[a，b]上的最大(小)值或利用求导法解决一些实际问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂的问题简单化，因而已逐渐成为高考的又一新热点．1．利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法：(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y＝f(x)，根据实际问题确定y＝f(x)的定义域．(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，得出所有实数的解．(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值．2．利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．[例6]　某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x(元)的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出L的最大值Q(a)．利用定积分求曲边梯形的面积、变力做功等问题，要注意用定积分求曲边梯形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)解方程组确定积分区间；(3)根据图形的特点确定积分函数；(4)求定积分．[分析]　本题考查定积分知识．[例8]　计算由y2＝x，y＝x2围成的图形的面积．