数学选修2-2第一章 导数及其应用综合与测试教学设计及反思

课    题： 3．1导数的概念（一）—曲线的切线

教学目的：

1.了解曲线的切线的概念

2.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法．

3.并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程

教学重点：理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景．

教学难点：会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率.

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

内容分析：
  导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具.导数的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微积分.微积分除了解决最大值、最小值问题，还能解决一些复杂曲线的切线问题.导数的思想最初是法国数学家费马(Fermat)为解决极大、极小问题而引入的.但导数作为微分学中最主要概念，却是英国科学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼兹(Leibniz)分别在研究力学与几何学过程中建立的.

微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠了牛顿和莱布尼兹的工作.但遗憾的是他们之间发生了优先权问题的争执.其实，他们差不多是在相同的时间相互独立地发明了微积分.方法类似但在用语、符号、算式和量的产生方式稍有差异.牛顿在1687年以前没有公开发表，莱布尼兹在1684年和1686年分别发表了微分学和积分学. 所以，就发明时间而言，牛顿最于莱布尼兹，就发表时间而言，莱布尼兹则早于牛顿.关于谁是微积分的第一发明人，引起了争论.而我们现在所用的符号大多数都是莱布尼兹发明的.而英国认为牛顿为第一发明人，拒绝使用莱布尼兹发明的符号，因此，使自己远离了分析的主流

教学过程：

一、复习引入：

圆与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线

二、讲解新课：

１．曲线的切线

如图，设曲线c是函数的图象，点是曲线 c 上一点作割线PQ当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线

   2.确定曲线c在点处的切线斜率的方法：

因为曲线c是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线PQ的倾斜角为，切线PT的倾斜角为，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ的斜率tan,即

tan=

我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极限来定义切线，以及切线的斜率.那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线，也可以求出它在某一点处的切线了.

三、讲解范例：

例1曲线的方程为y=x2+1，那么求此曲线在点P(1，2)处的切线的斜率，以及切线的方程.

解：k=

∴切线的斜率为2.

切线的方程为y－2=2(x－1)，即y=2x.

例2求曲线f(x)=x3+2x+1在点(1，4)处的切线方程.

解:k=

∴切线的方程为y－4=5(x－1)，

即y=5x－1

例3求曲线f(x)=x3－x2+5在x=1处的切线的倾斜角.

分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再根据斜率k=tanα，求出倾斜角α.

解：∵tanα=

∵α∈［0，π，∴α=π.

∴切线的倾斜角为π.

例4求曲线y=sinx在点()处的切线方程.

解：k=

∴切线方程是，

即

例5  y=x3在点P处的切线斜率为3，求点P的坐标.

解：设点P的坐标(x0，x03)

∴斜率3=

∴3x02=3，x0=±1

∴P点的坐标是(1，1)或(－1，－1)

四、课堂练习：

1．已知曲线y=2x2上一点A(1，2)，求(1)点A处的切线的斜率.(2)点A处的切线方程.

解：(1)k=

∴点A处的切线的斜率为4.

(2)点A处的切线方程是y－2=4(x－1)即y=4x－2

2.求曲线y=x2+1在点P(－2，5)处的切线方程.

解：k=

∴切线方程是y－5=－4(x+2)，即y=－4x－3.

点评：求切线的斜率与方程，主要转化为求极限，要从切线的斜率的定义出发

五、小结 ：这节课主要学习了曲线在一点处的切线以及切线的斜率的概念.要学会利用求极限来得到切线的斜率以及斜率的方程  

六、课后作业：

1. 求下列曲线在指定点处的切线斜率.

(1)y=－+2,　x＝２处　（２）y＝，x＝０处．

答案：(1)k=－１２，（２）k=－１

七、板书设计（略）

八、课后记：