高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用课后复习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用课后复习题，共5页。试卷主要包含了统计图表与正态分布，统计图表与统计分析，概率统计中的决策问题，概率统计中的最值问题等内容，欢迎下载使用。

一、统计图表与正态分布
例1 从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标(记为Z)，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z<95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和均值；
(2)由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)．
①利用该正态分布，求P(87.8≤Z≤112.2)；
②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间[87.8，112.2]内的产品件数，利用①的结果，求E(X)．
附：eq \r(150)≈12.2.
若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5.
解 (1)由频率估计概率，产品为正品的概率为(0.033＋0.024＋0.008＋0.002)×10＝0.67，
所以随机变量ξ的分布列为
所以E(ξ)＝90×0.67＋(－30)×0.33＝50.4.
(2)由频率分布直方图知，抽取产品的该项质量指标值的样本平均数μ和样本方差σ2分别为
μ＝70×0.02＋80×0.09＋90×0.22＋100×0.33＋110×0.24＋120×0.08＋130×0.02＝100，
σ2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
①因为Z～N(100，150)，
从而P(87.8≤Z≤112.2)＝P(100－12.2≤Z≤100＋12.2)≈0.682 7.
②由①知，一件产品中该项质量指标值位于区间[87.8，112.2]内的概率约为0.682 7，依题意知X～B(500，0.682 7)，所以E(X)＝500×0.682 7＝341.35.
反思感悟 本题以统计图表为载体，将正态分布、二项分布、频率分布直方图巧妙的融合在一起，体现了知识的整合性与交汇融合性，搞清这些统计图表的含义，掌握好样本特征的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算是解决问题的关键．
二、统计图表与统计分析
例2 一家大型超市委托某机构调查该超市的顾客使用移动支付的情况．调查人员从年龄在20岁至60岁的顾客中，随机抽取了200人，调查结果如图：
(1)为推广移动支付，超市准备对使用移动支付的每位顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有10 000人购物，试根据上述数据估计，该超市当天应准备多少个环保购物袋？
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断在小概率值α＝0.001的独立性检验下，能否推断使用移动支付与年龄有关？
(3)现从该超市这200位顾客年龄在[55，60]的人中，随机抽取2人，记这两人中使用移动支付的顾客为X人，求X的分布列．
附：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)
解 (1)根据图中数据，由频率估计概率，根据已知可预计该超市顾客使用移动支付的概率为：
eq \f(20＋25＋25＋15＋15＋10＋8＋7,200)＝eq \f(5,8)，
∴超市当天应准备的环保购物袋个数为
10 000×eq \f(5,8)＝6 250.
(2)补充列联表为
零假设H0：移动支付与年龄无关，则
χ2＝eq \f(200×85×65－40×102,125×75×95×105)≈56.17，
∵56.17>10.828，
∴在小概率值α＝0.001的独立性检验下，可以认为使用移动支付与年龄有关．
(3)X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(2,22),C\\al(2,29))＝eq \f(33,58)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,22)C\\al(1,7),C\\al(2,29))＝eq \f(11,29)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,7),C\\al(2,29))＝eq \f(3,58)，
∴X的分布列为
三、概率统计中的决策问题
例3 某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售．已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种：可能10%或者20%，两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱．现处理价格为每箱8 400元，遇到废品不予更换．以一箱产品中正品的价格均值作为决策依据．
(1)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；
(2)现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验．
①若此箱出现的废品率为20%，记抽到的废品数为X，求X的分布列和均值；
②若已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，判断是否可以购买．
解 (1)在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格均值为：
E(ξ)＝100×(1－0.2)×100×0.5＋100×(1－0.1)×100×0.5＝8 500>8 400，
∴在不开箱检验的情况下，可以购买．
(2)①X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝Ceq \\al(0,2)×0.20×0.82＝0.64，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,2)×0.21×0.81＝0.32，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,2)×0.22×0.80＝0.04，
∴X的分布列为
E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.
②设事件A：发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，则
P(A)＝Ceq \\al(1,2)×0.2×0.8×0.5＋Ceq \\al(1,2)×0.1×0.9×0.5＝0.25，
一箱产品中，设正品的价格的均值为η，则η＝8 000，9 000，
事件B1：抽取的废品率为20%的一箱，
则P(η＝8 000)＝P(B1|A)＝eq \f(PAB1,PA)
＝eq \f(C\\al(1,2)×0.2×0.8×0.5,0.25)＝0.64，
事件B2：抽取的废品率为10%的一箱，则
P(η＝9 000)＝P(B2|A)＝eq \f(PAB2,PA)
＝eq \f(C\\al(1,2)×0.1×0.9×0.5,0.25)＝0.36，
∴E(η)＝8 000×0.64＋9 000×0.36＝8 360<8 400，
∴已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，不可以购买．
四、概率统计中的最值问题
例4 某超市计划按月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本为每桶5元，售价为每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部处理完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关，如果最高气温不低于25 ℃，需求量为600桶，如果最高气温(单位：℃)位于区间[20，25)，需求量为400桶，如果最高气温低于20 ℃，需求量为200桶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种冰激凌一天的需求量X(单位：桶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种冰激凌的利润为Y(单位：元)，当六月份这种冰激凌一天的进货量n(单位：桶)为多少时，Y的均值取得最大值？
解 (1)由已知得，X的所有可能取值为200，400，600，记六月份最高气温低于20 ℃为事件A1，最高气温(单位：℃)位于区间[20，25)为事件A2，最高气温不低于25 ℃为事件A3，根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率，可知
P(X＝200)＝P(A1)＝eq \f(18,90)＝eq \f(1,5)，
P(X＝400)＝P(A2)＝eq \f(36,90)＝eq \f(2,5)，
P(X＝600)＝P(A3)＝eq \f(36,90)＝eq \f(2,5)，
故六月份这种冰激凌一天的需求量X(单位：桶)的分布列为
(2)由题意得，当n≤200时，E(Y)＝2n≤400；
当200当400E(Y)＝eq \f(1,5)×[200×2＋(n－200)×(－2)]＋eq \f(2,5)×[400×2＋(n－400)×(－2)]＋eq \f(2,5)×n×2＝－eq \f(2,5)n＋800∈[560，640)；
当n>600时，
E(Y)＝eq \f(1,5)×[200×2＋(n－200)×(－2)]＋eq \f(2,5)×[400×2＋(n－400)×(－2)]＋eq \f(2,5)×[600×2＋(n－600)×(－2)]＝1 760－2n<560.
所以当n＝400时，Y的均值取得最大值640.ξ
90
－30
P
0.67
0.33
移动支付
年龄
合计
年龄<40
年龄≥40
使用
不使用
合计
200
α
0.100
0.050
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
移动支付
年龄
合计
年龄<40
年龄≥40
使用
85
40
125
不使用
10
65
75
合计
95
105
200
X
0
1
2
P
eq \f(33,58)
eq \f(11,29)
eq \f(3,58)
X
0
1
2
P
0.64
0.32
0.04
最高
气温
(℃)
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40]
天数
2
16
36
25
7
4
X
200
400
600
P
eq \f(1,5)
eq \f(2,5)
eq \f(2,5)