人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线教学ppt课件

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类型一　直线与抛物线的位置关系【典例】若直线l:y=(a+1)x-1与曲线C:y2=ax恰好有一个公共点,试求实数a的取值集合.【思维·引】将直线方程与抛物线方程联立,消去y后化为关于x的方程,其中二次项系数含参数,分类讨论方程有一解时a的取值.
【解析】因为直线l与曲线C恰好有一个公共点,所以方程组 有唯一一组实数解,消去y,得[(a+1)x-1]2=ax,整理得(a+1)2x2-(3a+2)x+1=0①(1)当a+1=0,即a=-1时,方程①是关于x的一元一次方程,解得x=-1,这时,原方程组有唯一解
(2)当a+1≠0,即a≠-1时,方程①是关于x的一元二次方程.令Δ=[-(3a+2)]2-4(a+1)2=a(5a+4)=0,解得a=0或a=- .当a=0时,原方程组有唯一解 当a=- 时,原方程组有唯一解 综上实数a的取值集合是 .
【内化·悟】直线与抛物线只有一个公共点,则直线和抛物线一定相切吗?提示:不一定相切,当直线和抛物线的对称轴重合或平行时,直线和抛物线相交只有一个公共点.
【类题·通】　直线与抛物线的位置关系的判断方法设直线l:y=kx+b,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立消元得:k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.(2)若k2≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;当Δ<0时,直线与抛物线相离,无交点.
【习练·破】　已知直线l过点A 且与抛物线y2=2px(p>0)只有一个公共点,则直线l的方程为　　　　. 
【解析】当直线与抛物线只有一个公共点(相切)时,由题意设直线l的方程为y-p= ,将直线l的方程与y2=2px联立,消去x得ky2-2py+(2+3k)p2=0.由Δ=0得,k= 或k=-1.所以直线l的方程为2x-6y+9p=0或2x+2y+p=0.当直线l与x轴平行时,直线l与抛物线只有一个交点;此时,y=p,故满足条件的直线共有三条,其方程为:2x-6y+9p=0或2x+2y+p=0或y=p.答案:2x-6y+9p=0或2x+2y+p=0或y=p
【加练·固】　　 直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时,l与C有:(1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点.
【解析】将l和C的方程联立得 消去y,得k2x2+(2k-4)x+1=0.(*)当k=0时,方程(*)只有一个解,x= ,y=1.所以直线l与C只有一个公共点 ,此时直线l平行于x轴.当k≠0时,方程(*)是一个一元二次方程:①当Δ>0,即k<1,且k≠0时,l与C有两个公共点,此时直线l与C相交.②当Δ=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C相切.③当Δ<0,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.综上所述,(1)当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点;
(2)当k<1,且k≠0时,直线l与C有两个公共点;(3)当k>1时,直线l与C没有公共点.
类型二　与弦长、中点有关的问题【典例】1.已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,抛物线C的方程为　　　　. 2.已知抛物线的顶点在原点,过点A(-4,4)且焦点在x轴.(1)求抛物线方程;(2)直线l过定点B(-1,0),与该抛物线相交所得弦长为8,求直线l的方程.
【思维·引】1.设出抛物线方程,列方程组求得A,B两点坐标,利用中点坐标公式求得所设抛物线方程中的参数.2.(1)设出抛物线方程,求出其中的参数.(2)分斜率存在与不存在两种情况求解.
【解析】1.设抛物线的方程为y2=ax(a≠0),由方程组 得交点为A(0,0),B(a,a),而点P(2,2)是AB的中点,从而有a=4,故所求抛物线的方程为y2=4x答案:y2=4x
2.(1)设抛物线方程为y2=-2px,抛物线过点(-4,4),42=-2p(-4),得p=2,则y2=-4x.(2)①当直线l的斜率不存在时,直线l:x=-1与抛物线交于(-1,-2),(-1,2),弦长为4,不合题意.②当直线l的斜率存在时,设斜率为k,直线为y=k(x+1), 消去y得k2x2+(2k2+4)x+k2=0,x1+x2=- ,x1x2=1.弦长为 =8,解得k2=1,得k=±1,所以直线l的方程为y=x+1或y=-x-1.
【内化·悟】直线l:y=kx+b和抛物线y2=2px相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则弦长|AB|等于多少?提示:|AB|= = · = = .
【类题·通】　中点弦问题解题策略
【习练·破】　已知抛物线y2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A,B两点,试求弦AB的中点的轨迹方程.
【解析】方法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点为M(x,y),则y1+y2=2y,kAB= = .因为 ,两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=2(x1-x2),所以2y· =2,即2y· =2.即 当AB⊥x轴时,AB中点为(2,0),适合上式,故所求轨迹方程为
方法二:设直线AB的方程为y-1=k(x-2),由 得 y2-y+1-2k=0.由已知可知 恒成立.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为P(x,y),所以y1+y2= ,y1y2= ,所以x1+x2= = [(y1+y2)2-2y1y2]= = ,
所以 消去参数k,得: 当AB⊥x轴时,AB中点为(2,0),适合上式,故所求轨迹方程为
类型三　抛物线性质的综合应用【典例】已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),O为坐标原点,A,B是抛物线C上异于O的两点.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线OA,OB的斜率之积为- ,求证:直线AB过定点.
【思维·引】(1)根据焦点求p.(2)根据条件表示出直线AB的方程,从而求出直线所过定点,得证.
【解析】(1)因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),所以 =1,所以p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)①当直线AB的斜率不存在时,设 A 因为直线OA,OB的斜率之积为- ,所以 ,化简得t2=32.所以A(8,t),B(8,-t),此时直线AB的方程为x=8.
②当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=kx+b(k≠0),A(xA,yA),B(xB,yB),联立得 化简得ky2-4y+4b=0.根据根与系数的关系得yAyB= ,因为直线OA,OB的斜率之积为- ,所以 即xAxB+2yAyB=0,即 =0,
解得yAyB=0(舍去)或yAyB=-32,所以yAyB= =-32,即b=-8k,所以y=kx-8k,即y=k(x-8),综上所述,直线AB过x轴上一定点(8,0).
【内化·悟】解决直线或曲线方程过定点问题的关键是什么?提示:把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把参数当作未知数,将方程一端化为0,即化为kf(x,y)+g(x,y)=0的形式(这里把参数k当作未知数).
【类题·通】　应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便.(2)轴对称问题,一是抓住对称两点的中点在对称轴上,二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.(3)在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化.(4)圆锥曲线中的定点、定值问题,常选择一参数来表示要研究问题中的几何量,通过运算找到定点、定值,说明与参数无关,也常用特值探路法找定点、定值.
【习练·破】已知抛物线C:y2=2px(p>0),过点(2,0)的直线l与抛物线C相交于A,B两点,O为坐标原点,且 =2.(1)求抛物线C的方程;(2)点M坐标为(-2,0),直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,求证: 为定值.
【解析】(1)设l的方程为x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由 -my-2=0.所以y1+y2=2pm,y1y2=-4p.所以 =x1x2+y1y2= +y1y2=4-4p=2,所以p= ,所以抛物线C的方程为y2=x.
(2)因为M坐标为(-2,0),所以 由(1)可得y1+y2=m,y1y2=-2,所以 =0为定值.
【加练·固】　　 如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.设直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.(1)求p的值;(2)求证:点A与B横坐标之积、纵坐标之积分别都为定值.(3)求M的横坐标的取值范围.
【解析】(1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=-1的距离,由抛物线定义得, =1,即p=2.
(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),依题意知,AF斜率存在,所以设直线AF:y=k(x-1),k≠0,联立 得k2x2-(4+2k2)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),根据根与系数的关系,得x1x2= =1,又 =16x1x2=16,且y1,y2异号,所以y1y2=-4.所以点A与B横坐标之积、纵坐标之积分别都为定值.
(3)设A(t,2 ),由题意可得t>0,且t≠1,否则点N不存在.由(2),可得B ,于是直线AB的斜率为 ,故直线FN的斜率为- ,从而得FN:y=- ,直线BN:y=- ,联立求解可得,N ,设M(m,0),由A,M,N三点共线,得 = ,化简得m= ,得m<0或m>2.所以点M的横坐标的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞).
1.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为(　　)　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.- B.-1C.- D.-
【解析】选C.因为抛物线C:y2=2px的准线为x=- ,且点A(-2,3)在准线上,故- =-2,解得p=4,所以y2=8x,所以焦点F的坐标为(2,0),这时直线AF的斜率kAF=
2.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则(　　)A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点
【解析】选C.因为直线y=kx-k=k(x-1),所以直线过点(1,0).又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部.所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0,直线与抛物线有两个公共点.
3.过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y2=8x交于A,B两点,则弦AB的长为(　　)
【解析】选B.设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由直线AB斜率为-2,且过点(1,0)得直线AB的方程为y=-2(x-1),代入抛物线方程y2=8x得4(x-1)2=8x,整理得x2-4x+1=0,则x1+x2=4,x1x2=1,|AB|=
4.抛物线y2=4x上的点到直线x-y+4=0的最小距离为　　　　. 【解析】可判断直线y=x+4与抛物线y2=4x相离,设y=x+m与抛物线y2=4x相切,则由 消去x得y2-4y+4m=0.所以Δ=16-16m=0,m=1.又y=x+4与y=x+1的距离d= 则所求的最小距离为 .答案:
　新情境·新思维　已知F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,当 =0时,△ABC有多少个?