人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆教学ppt课件

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1.点与椭圆的位置关系设P(x0,y0),椭圆 =1(a>b>0),则点P与椭圆的位置关系如表所示:
2.直线与椭圆的位置关系判断直线和椭圆位置关系的方法直线y=kx+m与椭圆 =1(a>b>0)的位置关系的判断方法:联立 消去y,得关于x的一元二次方程.当Δ>0时,方程有两个不同解,直线与椭圆_____;当Δ=0时,方程有两个相同解,直线与椭圆_____;当Δb>0)相交,两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).弦长公式①:|AB|= __________________________ .弦长公式②:|AB|= ___________________________ .
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)若直线的斜率一定,则当直线过椭圆的中心时,弦长最大.(　　)(2)直线 -y=1被椭圆 +y2=1截得的弦长为 .(　　)(3)已知椭圆 =1(a>b>0)与点P(b,0),过点P可作出该椭圆的一条切线.(　)(4)直线y=k(x-a)(k≠0)与椭圆 =1的位置关系是相交.(　　)
提示:(1)√.根据椭圆的对称性可知,直线过椭圆的中心时,弦长最大.(2)√.由 -y=1得y= -1,代入 +y2=1,解得两交点坐标A(0,-1),B(2,0).|AB|= (3)×.因为P(b,0)在椭圆内部,过点P作不出椭圆的切线.(4)√.直线y=k(x-a)(k≠0)过点(a,0)且斜率存在,所以直线y=k(x-a)与椭圆 =1的位置关系是相交.
2.直线y=kx-k+1(k≠0)与椭圆 =1的位置关系是(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.相交B.相切C.相离D.不确定【解析】选A.直线y=kx-k+1=k(x-1)+1(k≠0)过定点(1,1),且该点在椭圆内部,因此直线必与椭圆相交.
3.已知椭圆 =1(a>5)的两个焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=10,弦AB过点F2,则△F1AB的周长为(　　)A.10B.20C.10 D.20
【解析】选D.由题意可得椭圆 =1(a>5)中b=5,c=5,a= 由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,即△ABF1的周长为|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=20 .
类型一　直线与椭圆的位置关系 【典例】1.若直线mx+ny=4与☉O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆 =1的交点个数为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　A.2个B.至多一个C.1个D.0个2.已知椭圆E: =1,直线l:y=x+m与椭圆E有两个公共点,则实数m的取值范围是　　　　　. 
【思维·引】1.先利用直线与圆的位置关系判断出点P与椭圆的位置关系,再判断交点个数.2.直线与椭圆相交,则联立后的方程应有判别式Δ>0.
【解析】1.选A.由题意得 >2,所以m2+n20,n>0)的离心率为e,长轴为AB,短轴为CD.(1)若W的一个焦点为(3,0),|CD|=6,求W的方程;(2)若|AB|=10,e= ,求W的方程.
【解析】(1)由已知可得,c=3,2b=6,b=3.所以a2=b2+c2=18,由题意可知,椭圆焦点在x轴上,则椭圆方程为 =1.(2)由已知可得,2a=10,则a=5,又e= ,所以c=3,则b2=a2-c2=16.若椭圆焦点在x轴上,则椭圆方程为 =1;若椭圆焦点在y轴上,则椭圆方程为 =1.
【加练·固】　　 椭圆 =1(a>b>0)的离心率为 ,且椭圆与直线x+2y+8=0相交于P,Q两点,若|PQ|= ,求椭圆方程.
【解析】因为e= ,所以b2= a2,所以椭圆方程为x2+4y2=a2,与x+2y+8=0联立消去y,得2x2+16x+64-a2=0,由Δ=162-4×2(64-a2)>0,得a2>32,设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=-8,x1x2= .由弦长公式,得|PQ|= ,即10= ×[64-2(64-a2)],所以a2=36,b2=9,所以椭圆方程为 =1.
类型三　与椭圆有关的综合问题【典例】已知椭圆E: =1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,上顶点为M,且△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形.(1)求椭圆E的方程;(2)若直线l:y=-x+m与椭圆E交于A,B两点,以AB为直径的圆与y轴相切,求m的值.
【思维·引】(1)根据已知条件求出a,b,从而得到椭圆方程.(2)依据以AB为直径的圆的圆心到y轴的距离等于半径,列方程求m.
【解析】(1)由题意可得M(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),由△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形得 a2=1,b=c,且a2-b2=c2,解得b=c=1,a= ,则椭圆E的方程为 +y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立 ⇒3x2-4mx+2m2-2=0,有Δ=16m2-12(2m2-2)>0,即- b>0)的右焦点为F,直线l:y= x与椭圆C相交于A,B两点(A在B上方),若AF⊥BF,则椭圆C的离心率为　　　　. 
【解析】由椭圆C: =1(a>b>0)的右焦点为F,直线l:y= x与椭圆C相交于A,B两点,AF⊥BF,可知三角形OAF是正三角形,A 所以|FB|= c,由椭圆的定义可得 c+c=2a,可得e= 答案:
1.椭圆的焦点为F1,F2,过F1的最短弦PQ的长为10,△PF2Q的周长为36,则此椭圆的离心率为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　
【解析】选C.PQ为过F1且垂直于x轴的弦,则Q ,△PF2Q的周长为36.所以4a=36,a=9.由已知 =5,即 =5.又a=9,解得c=6,解得
2.如果椭圆 =1的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　A.x-2y=0B.x+2y-4=0C.2x+3y-12=0D.x+2y-8=0
【解析】选D.设这条弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为k,则 两式相减再变形得 又弦中点为(4,2),故k=- ,故这条弦所在的直线方程为y-2=- (x-4),整理得x+2y-8=0.
3.过椭圆 =1的左焦点且斜率为1的弦AB的长是　　. 
【解析】椭圆的左焦点为(-4,0),由 得34x2+200x+175=0,所以x1+x2=- ,x1x2= .所以|AB|= 答案:
4.已知椭圆 =1(a> )的左、右焦点分别为F1,F2.过左焦点F1作斜率为-2的直线与椭圆交于A,B两点,P是AB的中点,O为坐标原点,若直线OP的斜率为 ,则a的值是　　　　. 
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则 两式相减得 所以 所以 所以a2=2b2=4,所以a=2.答案:2
　新情境·新思维已知F是椭圆E: =1的左焦点,P为椭圆E上的动点,A(1, )为一个定点,则|PA|+|PF|的最大值为　　　　.