人教版新课标A必修52.5 等比数列的前n项和教学设计

等比数列前n项和说课提纲

我将从教材分析、教学目标、教学方法、教学过程的构思与设想以及教学反思等五个方面对本节课的设计进行说明。

一、教材分析

数列是高中数学的重要内容之一，现实生活和高等数学的很多内容常用到它，同时又是对学生进行观察、分析、归纳、计算、推理等基本训练,提升学生数学能力的良好题材。

学生在前面已经学习了数列的概念、等差数列及其求和公式、等比数列的通项公式，这为本节内容的学习奠定了基础，而本节课的学习又为数列在各方面的应用奠定基础

基于以上认识，我认为本节课的重点为：等比数列前n项和公式及其应用。由于公式的推导方法学生不易想出，所以本节课的难点为：等比数列前n项和公式的推导过程。突破难点的关键在于创设合适的教学情境将学生的思维引导到最近的发现区。

二、教学目标

依据教材、教学大纲和学生实际，我确立了如下教学目标：

1、知识与技能目标：（1）使学生掌握并能灵活运用等比数列前n项和公式，掌握该公式的推导方法——乘公比错位相减法。

（2）渗透分类讨论等数学思想，提高学生的数学素养。

2、过程与方法目标：在公式及其推导方法的探究过程中培养学生的观察、猜想、分析、综合的思维能力，使学生掌握研究问题的科学方法。

3、情感与态度目标：创设轻松愉快的教学氛围，让学生在自主探究、合作交流过程中收获知识，提升能力，获得学习成功的愉悦和快乐，并关注其个性品质；通过对公式的推导和对公比q的讨论，进一步形成学生勇于探索、严谨治学的科学态度。

三、教学方法

教学过程是教与学以及师生合作、生生合作的多边活动过程，教学方法对

教学目的的实现和学生素质的提高具有非常重要的意义。

（1）        教法

建构主义认为，知识不能由教师简单地传递给学生而只能由学生依据自己已有的知识和经验主动地加以建构，因此本节课我主要采用“引导发现法”来突出重点，突破难点。

过程如下：

第一步，讲述数学故事并设置问题，激发学生的学习兴趣。

第二步，解决故事中提出的问题。“无意中”求出麦粒数这个等比数列前64项的和。引导学生反思求和过程，根据求和过程大胆猜想等比数列求和的方法。

第三步，通过特殊数列验证改进猜想。并严格证明猜想，得出等比数列求和公式及其推导方法。

第四步，通过例题和练习，巩固所学内容。

这样设计将有利于调动学生思维的积极性，将学生的学习过程转化为学生的自主探索过程，使学生真正成为课堂的主人，参与到整个教学活动的全过程中。采用“引导发现法”，通过教师精心设计教学情境和一系列活动，让学生亲身体验知识发生、发展的过程，特别有利于培养学生的探索精神和创新意识，发展他们的研究能力和实践能力。

（2）学法

我们常说：“现代的文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人”，因而在教学中要特别重视对学法的指导。教师只有教给学生治学之道，求是之法，才能让学生把握学习的灵魂。

本节课学生将经历观察、猜想、分析、证明、练习及巩固过程。

通过本节学习使学生认识到学习的过程就是通过发现问题、研究问题、解决问题进一步扩充自己的认知结构的过程。逐步掌握认真观察、动脑思考，大胆猜想，严格证明这一探索、研究问题的重要方法。

总之，本节教学方法设计是给学生提供眼耳脑口手五官并用的机会，优化教学过程，把学习主动权交给学生，真正让学生成为教学活动的主体。

同时还使用演示课件、投影等手段扩大课堂容量、激发学生兴趣。

四、教学过程

依据辩证唯物主义认识论，教育心理学规律，根据教材分析和学生实际，本着提高学生探究能力，发展学生的创新意识和实践能力的目的，我把本节课的课堂结构分为以下四环节。

1、创设情境，引入课题

本环节分为两个层次：

（1）复习等比数列定义和通项公式，并通过定义=q，得出an+1=anq，

启发学生得出无穷等比数列的某一项乘以公比q所得结果仍然是这个数列中的项，并且是这一项的后一项，有穷数列的最后一项除外。

本层次主要是为扫除因旧知识不清而出现的障碍，为后面突破难点做好铺垫。

（2）讲述教学故事设置问题，创设情境。

师生一块回忆本章引言中关于国际象棋的传说：国际象棋起源于古代印度，国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒，依次类推，每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。国王觉得这并不是很难办的事，就欣然同意了他的要求。可国王错了，皇家总管用了整整三天的时间才算出麦粒数是18446744073709551615。这些麦粒的总质量超过了7000亿吨。7000亿吨是一个多么庞大的数字，学生们可能想象不到，可以给学提供一个参照物：我们国家在2003年的粮食总产量不足5亿吨，照我们国家现在的生产力水平7000亿吨大约是1400多年的粮食总产量，何况古代印度的生产力水平呢？

国王犯这样的错，主要是因为缺乏数学知识，那么，我们怎样迅速计算出麦粒总数呢？

因为在上一节等比数列的概念中，学生已经知道麦粒数构成了一个等比数列，此时提出等比数列怎样求和水到渠成。

继续讲述故事：现在我们假设发明者要求使用另一种放法，在第1个格子里放2颗麦粒，在第2个格子里放4颗麦粒，在第3个格子里放8颗麦粒……依次类推，每一个格子里放的麦粒数是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。

并设置问题：后一种放法与前一种放法相比，发明者能多得多少颗麦粒。

教师放手让学生去研究、去探索、去讨论。

学生比较容易得出：

S64=1+2+4+8+16+32+64+……+262+263

S=2+4+8+16+32+64+128+……+263+264

两式相减得S-S64=264-1

也就是第二种放法比第一种放法能多得264-1颗麦粒。

教师引导学生考虑每一格中两种放法对应的麦粒数的关系，进而得出两种放法对应的麦粒总数的关系。

至此，学生发现S-S64=S64，也就是第二种放法比第一种放法多得的麦粒数恰好为第一种放法所得麦粒总数。

为引导学生观察教师提出问题：“在S64 与S中有这么多项你是怎样计算出结果的。”学生发现两式中绝大多数项相同，在作差时被消去，从而为后面突破难点设置台阶。

本层次通过故事引入，可以极大地调动全体同学的积极性，使不同层次的学生都兴致勃勃地参与课堂活动。改编故事设置第二种放法，主要是因为等比数列前n项和的求法，学生不易想出，而学生在解决故事中的问题时会在“不经意”中求出一个等比数列的和，从而回头反思求和的过程。当然这里学生的“不经意”是教师故意设置的教学情境。

2、自主探索、合作交流

本环节是教学过程的难点，我通过四个层次来分散难点、突出重点。

（1）观察分析、提出猜想

教师提出问题：“刚才我们在不经意中求出了一个数列的前64项和，现在我们回头分析一下是怎求求和的，请大家首先观察两个等式之间有什么关系，并考虑我们求出和的过程。”

屏幕显示：S64=1+2+4+8+16+32+64+……+262+263    ------- ---①

S=2+4+8+16+32+64+128+……+263+264    ---------------②

学生经过观察、分析、讨论，将两式关系总结为两点：

（Ⅰ） ②式对应的数列是①式的对应数列的各项乘以2后得到的。

（Ⅱ）①式与②式绝大多数项相同，在相减时被消去。

教师设置问题：“据此分析，请同学们大胆猜想，求一个等比数列前n项和可以怎样进行？”

让学生畅所欲言，大胆发表自己的看法。如果学生回答确有困难，教师可对照上面的解法给予适当提示。根据以往授课经验，多数学生认为可以将Sn乘以2后再与Sn相减。

（2）验证猜想，改进猜想

教师指导全体学生按照多数学生的猜想进行研究，其他同学的猜想在课后自己进行研究。

启发学生先用特殊数列验证猜想。

屏幕显示等比数列：1，3，9，27，……，3n-1，…

学生验证后发现不能求出Sn

学生思路受阻，教师选择适当时机点拨，引导学生观察：第二个数列对应的两个等式和第一个数列对应的两个等式之间有什么差别。

经过学生观察、讨论可以得到第二个数列的两式没有出现绝大多数相同项。

教师组织学生进一步讨论：“为什么第一个数列乘以2后能出现绝大多数相同项因而能求和，而第二个数列乘以2后不能出现绝大多数相同项因而不能求和？第一个数列乘以2后能求和是不是一种偶然的巧合呢？”

学生思考、分析、讨论，如果学生回答确有困难，教师可以提示：第一个数列乘以2后能求和而第二个数列乘以2后不能求和，是不是2相对于两个数列角色不一样？

学生经过观察、分析、讨论后认定2是第一个数列的公比，但并不是第二个数列的公比。

教师及时引导：“看来我们的猜想还需要进一步改进，那么应怎样改进呢？”

学生很快得出：应将Sn乘以公比后再与Sn作差

教师启发学生先用特殊数列验证。

学生按改进后的猜想，去求刚才的第二个等比数列1，3，9，27，…，3n-1…的前n项和，发现能求出Sn .

教师提出问题：改进后的猜想能用来求这两个数列的和，那么是不是所有的等比数列都可以这样求和呢？

学生得出肯定的结论后，教师引导学生反思：为什么乘以公比以后能求和。

如果学生回答确有困难，教师可提示学生出现绝大多数相同项作差时能消去是关键，再结合刚上课复习等比数列定义时得出的等比数列中的项乘以公比q所得结果为该数列中这一项的后一项，则可以断定Sn乘以公比q后的qSn表达式与Sn表达式中绝大多数项相同，作差时能消去。

再回头看第一个数列乘以2，再作差能求和，表面现象是乘以2，其本质是乘以等比数列的公比。也就是出现那么多相同项的根本原因在于将每一项均乘以公比q后得到了这一项的下一项（有穷数列最后一项除外）。

分析至此，等比数列求和的方法已浮出水面。

（3）证明猜想

教师继续引导：“这只是我们的分析过程，下面需要做的工作大家认为是什么？”

在学生答出证明以后，教师用屏幕显示：

设公比为q的等比数列a1，a2，a3，…，an，…的前n项和Sn=a1+a2+…+an

让学生按照改进后的猜想去推导Sn，让一名学生到黑板板演，教师巡回观察。

学生一般出现两种解法：

解法一：

Sn=a1+a2+a3+a4…+an-1+an           （a）

q Sn=a1q+a2q+a3q+a4q…+an-1q+anq   （b）

（a）-（b）得（1-q）Sn=a1-anq，继而求出Sn

解法二：

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1       （c）

qSn=a1q+a1q2+a1q3…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn  （d）

（c）-（d）得（1-q）Sn=a1-a1qn，继而求出Sn

不论采用哪种解法，学生能够比较容易地推出预定结论，但是，学生易在由（1-q）Sn=a1-anq或（1-q）Sn=a1-a1qn求出Sn时忽视对公比q的讨论。

此处我的设计是，如果板演的同学讨论了，则让其他同学研究为什么讨论；如果板演的同学没有讨论，则让全体同学观察其推理过程是否严密，从而培养学生思维的批判性、严谨性。

当q=1时的情形由学生自己得出。

投影学生的另一种解法，并让学生研究两种结果的一致性。

（4）加深认识

为使加深学生对公式及其推导过程的认识并进一步渗透分类讨论思想，我设置以下两点：

①给推导过程命名。引导学生对照前n项和公式的推导过程给这种方法取一个能够体现该方法特点的名字，如果学生总结确有难度，教师可启发学生观察公式推导的步骤和作差时项的对应关系，最终得出乘公比错位相减法。

②总结公式。让学生总结等比数列前n项和公式的表达式，启发学生用分段函数的形式来表示：

Sn=

让学生阅读课本，对所学内容及时回顾、反思，培养学生良好的学习习惯。

3、练习应用、巩固提高

为巩固所学知识，我设置了3道例题：

例1、根据下列条件求相应的等比数列{an}的前n项和Sn

（1）a1=3，q=2，n=6；

（2）a1=8，q=，an=；

例2、计算等比数列1，2，4，8，…，263的和。

例3、求等比数列 1，a，a2，…，an-1，…的前n项和.（a∈R，a≠0） 

三个例题都直接应用公式求解例1由学生自己完成；例2由师生一块完成教师书写规范的解题步骤，为学生规范解题树立良好的榜样，同时用例2照应本节课开始的数学故事；例3用来强化学生的分类讨论思想学生先做最后教师讲评。

4、课堂小结

本环节分为两个层次，第一层次由学生小结本节课所学主要内容，回忆学习过程，归纳最重要的收获。以巩固新知，及时反思，提高能力。第二层次由教师小结教材体现的数学思想和方法。

以上四环节的时间分配设计：

1、创设情境、引入课题大约6分钟

2、合作讨论、探索方法大约25分钟

3、练习应用、巩固提高大约10分钟

4、课堂小结大约4分钟

为更好地复习巩固所学内容布置如下作业。第3题为研究性作业，用于训练学生思维的发散性，进一步提升学生的探索和研究能力。

1、求等比数列8，-4，2，-1, …的前5项的和

2、求等比数列1，2，4，……从第5项到第10项的和。

3、研究性作业(选做)：探究等比数列前n项和公式的其他证明方法。

板书设计

五、教学反思

本节课根据学习内容的需要和学生的认知基础采用引导发现法，结合多媒体课件的使用，使难以入手的公式推导变得简单可行。

在教学过程中积极为学生创造开放民主、和谐自由的课堂氛围，可以极大地调动学生学习的积极性、主动性，并关注学生个性品质，让学生在一种轻松愉快的气氛中自主探索、合作交流，体验知识的形成过程，主动摄取知识形成能力，获得积极的情感体验，形成科学的态度和价值观，从而促进每一个学生全面和谐健康地发展。

说课到此结束，请各位专家多提宝贵意见！

谢谢！