高中数学人教版新课标A必修5第二章 数列2.4 等比数列第2课时课后复习题

第2课时　等比数列的性质及应用

双基达标　限时20分钟

1．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于         (　　)．

A．4     B．8     C．16     D．32

解析　由等比数列的性质得a2·a6＝a42＝42＝16.

答案　C

2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于       (　　)．

A．－     B．－2    C．2     D.

解析　根据an＝am·qn－m，得a5＝a2·q3.

∴q3＝×＝.∴q＝.

答案　D

3．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于   (　　)．

A．3  B．2  C．1  D．－2

解析　∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.

答案　B

4．在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝120，则a5＋a6＝________.

解析　根据等比数列的性质：a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列．

∴a5＋a6＝(a3＋a4)·＝120×＝480.

答案　480

5．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________.

解析　由等比数列的性质得a3a11＝a72，

∴a72＝4a7.∵a7≠0，∴a7＝4.

∴b7＝a7＝4.

再由等差数列的性质知b5＋b9＝2b7＝8.

答案　8

6．已知等比数列{an}中，a2a6a10＝1，求a3·a9的值．

解　法一　由等比数列的性质，有a2a10＝a3a9＝a62，

由a2·a6·a10＝1，得a63＝1，

∴a6＝1，∴a3a9＝a62＝1.

法二　由等比数列通项公式，得

a2a6a10＝(a1q)(a1q5)(a1q9)＝a13·q15＝(a1q5)3＝1，

∴a1q5＝1，∴a3a9＝(a1q2)(a1q8)＝(a1q5)2＝1.

综合提高　限时25分钟

7．已知各项为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于  (　　)．

A．5     B．7     C．6     D．4

解析　∵a1a2a3＝a23＝5，∴a2＝.

∵a7a8a9＝a83＝10，∴a8＝.

∴a52＝a2a8＝＝50，

又∵数列{an}各项为正数，∴a5＝50.

∴a4a5a6＝a53＝50＝5.

答案　A

8．在等比数列{an}中，a3＝12，a2＋a4＝30，则a10的值为      (　　)．

A．3×10－5        B．3×29

C．128         D．3×2－5或3×29

解析　∵a2＝，a4＝a3q，∴a2＝，a4＝12q.

∴＋12q＝30.即2q2－5q＋2＝0，

∴q＝或q＝2.

当q＝时，a2＝24，

∴a10＝a2·q8＝24×8＝3×2－5；

当q＝2时，a2＝6，

∴a10＝a2q8＝6×28＝3×29.

答案　D

9．在等比数列{an}中，若an>0，a1·a100＝100，则lg a1＋lg a2＋lg a3＋…＋lg a100＝________.

解析　由等比数列性质知：a1·a100＝a2·a99＝…＝a50·a51＝100.

∴lg a1＋lg a2＋lg a3＋…＋lg a100＝lg(a1·a2·a3·…·a100)＝lg(a1·a100)50＝lg 10050＝lg 10100＝100.

答案　100

10．三个数a，b，c成等比数列，公比q＝3，又a，b＋8，c成等差数列，则这三个数依次为________．

解析　∵a，b，c成等比数列，公比是q＝3，

∴b＝3a，c＝a·32＝9a.

又由等差中项公式有：2(b＋8)＝a＋c，

∴2(3a＋8)＝a＋9a.∴a＝4.

∴b＝12，c＝36.

答案　4,12,36

11．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．

解　∵a1a5＝a32，a3a5＝a42，a3a7＝a52，

∴由条件，得a32－2a42＋a52＝36，

同理得a32＋2a3a5＋a52＝100，

∴即

解得或

分别解得或

∴an＝a1qn－1＝2n－2或an＝a1qn－1＝26－n.

12．(创新拓展)互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．

解　设这3个数分别为，a，aq，则a3＝－8，即a＝－2.

(1)若－2为－和－2q的等差中项，则＋2q＝4，

∴q2－2q＋1＝0，解得q＝1，与已知矛盾，舍去；

(2)若－2q为－和－2的等差中项，则＋1＝2q，

∴2q2－q－1＝0，解得q＝－或q＝1(与已知矛盾，舍去)，

∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1；

(3)若－为－2q与－2的等差中项，则q＋1＝，

∴q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(与已知矛盾，舍去)，

∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.

故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.