高中数学人教版新课标A必修52.2 等差数列教案

这是一份高中数学人教版新课标A必修52.2 等差数列教案，共7页。教案主要包含了复习引入，例题讲解，练习，小结 本节课学习了以下内容，课后作业，板书设计，课后记等内容，欢迎下载使用。

1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.
2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.
教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式
教学难点：灵活应用求和公式解决问题
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节是在集合与简易逻辑之后学习的，映射概念本身就属于集合的
教学过程：
一、复习引入：
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1.等差数列的前项和公式1：
2.等差数列的前项和公式2：
3.，当d≠0，是一个常数项为零的二次式
4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
利用:
当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值
当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值
利用：由二次函数配方法求得最值时n的值
二、例题讲解
例1 .求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素个数及这些元素的和.
解：由2n－1＜60,得n＜,又∵n∈N*
∴满足不等式n＜的正整数一共有30个.
即 集合M中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59，组成一个以=1, =59,n=30的等差数列.
∵=,∴==900.
答案：集合M中一共有30个元素，其和为900.
例2.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2，并求这些数的和
分析：满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N*}
解：分析题意可得满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N*}
由3n+2＜100,得n＜32,且m∈N*,
∴n可取0，1，2，3，…，32.
即 在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.
把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，…，98.
它们可组成一个以=2,d=3, =98,n=33的等差数列.
由=,得==1650.
答：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650.
例3已知数列是等差数列，是其前n项和，
求证：⑴，-，-成等差数列；
⑵设 （）成等差数列
证明：设首项是，公差为d
则
∵
∵∴
是以36d为公差的等差数列
同理可得是以d为公差的等差数列.
三、练习：
1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.
分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解.
解：根据题意，得=24, －=27
则设等差数列首项为,公差为d,
则
解之得： ∴=3+2（n－1）=2n+1.
2．两个数列1, , , ……,, 5和1, , , ……,, 5均成等差数列公差分别是, , 求与的值
解：5＝1＋8, ＝, 又5＝1＋7, ＝, ∴＝;
++……+＝7＝7×＝21,
++ ……+＝3×(1＋5)＝18,
∴ ＝.
3．在等差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{}的前n项和的最小值
解法1：∵＝＋3d, ∴ －15＝＋9, ＝－24,
∴ ＝－24n＋＝[(n－)－],
∴ 当|n－|最小时，最小，
即当n＝8或n＝9时，＝＝－108最小.
解法2：由已知解得＝－24, d＝3, ＝－24＋3(n－1),
由≤0得n≤9且＝0,
∴当n＝8或n＝9时，＝＝－108最小.
四、小结 本节课学习了以下内容：是等差数列，是其前n项和，则 （）仍成等差数列
五、课后作业：
1．一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.
解：由(n－2)·180＝100n＋×10，
求得n－17n＋72＝0, n＝8或n＝9,
当n＝9时, 最大内角100＋(9－1)×10＝180°不合题意，舍去，∴ n＝8.
2．已知非常数等差数列{}的前n项和满足
(n∈N, m∈R), 求数列{}的前n项和.
解：由题设知
＝lg()＝lgm＋nlg3＋lg2,
即 ＝[]n＋(lg3＋)n＋lgm,
∵ {}是非常数等差数列，当d≠0，是一个常数项为零的二次式
∴≠0且lgm＝0, ∴ m＝－1,
∴ ＝(－lg2)n＋(lg3－lg2)n,
则 当n=1时，＝
当n≥2时,＝－＝(－lg2)(2n－1)＋(lg3－lg2)
＝
∴＝
d==
=
=
数列{}是以=为首项,5d=为公差的等差数列， ∴数列{}的前n项和为
n·()＋n(n－1)·()＝
3．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差d.
解：设这个数列的首项为, 公差为d，则偶数项与奇数项分别都是公差为2d的等差数列，由已知得, 解得d＝5.
解法2：设偶数项和与奇数项和分别为S偶，S奇，则由已知得,求得S偶＝192，S奇＝162，S偶－S奇＝6d, ∴ d＝5.
4．两个等差数列，它们的前n项和之比为, 求这两个数列的第九项的比
解：.
5．一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110项和
解：在等差数列中，
, －, －, ……, －, －, 成等差数列，
∴ 新数列的前10项和＝原数列的前100项和，
10＋·D＝＝10, 解得D＝－22
∴ －＝＋10×D＝－120, ∴ ＝－110.
6．设等差数列{}的前n项和为，已知＝12，>0，<0，(1) 求公差d的取值范围；
(2) 指出, , , ……, 中哪一个最大，说明理由
解：(1) ,
∵ ＝＋2d＝12, 代入得 , ∴ －(2) ＝13<0, ∴ <0, 由＝6(＋)>0, ∴ ＋>0,
∴>0, 最大.
六、板书设计（略）
七、课后记：