2020-2021学年2.3 等差数列的前n项和学案

教你三招——快速求最值

　　求等差数列前项和的最值是等差数列中一类常见题型，也是同学们感到比较棘手的一类问题．下面教你取胜的三个绝招．

　　第一招——邻项夹逼法

1．   若，公差，则满足的使取最大值；若，公差

，则满足的使取最小值．

例1　已知数列的通项公式是，则取最小值时，的值为　　　．

解：由可知数列是等差数列，且，

所以满足的即为所求．

解不等式组得．

故当或9时，取最小值．

2．   若等差数列的前项和为，则满足的使取最大值；

满足的使取最小值．

例2           已知等差数列的前项和为，求的最小值及相应的值．

解：由得

解得．

因为，且，所以当或5时，有为所求最小值．

第二招——寻求零点法

寻求零点法的关键是令，得出相应的值，若为正整数，则中有两个值同

时取得最值；若不是整数，则中只有1个值取得最值．至于是最大值还是最小值，要根据数列的单调性来确定．

例3           已知等差数列中，，首项，问为何值时，最大？

解：由，，得．

所以．

令，则，又，所以．

故当时，最大．

第三招——二次函数最值法

由可知，当时，是的二次函数．因

此，当时，有最大值；当时，有最小值．

例4           在等差数列中，，且，问取何值时，有最小值．

解：由可知对称轴为，且，由二次函数性质知：

（1）          若为偶数，则当时，取最大值；

（2）          若为奇数，则当时， 取最大值．

前项和公式的变式及应用

　　教材中给出的等差数列前项和公式为：．在具体的解题过程中，如果我们能适时的应用公式的变化形式，则往往能减少运算量，简化解题过程．本文给出该公式的若干变化形式，并举例说明其应用．

　　变式1：．

　　该式由变形即得．它表明等差数列的前项和是关于的二次函数，从而把问题转化为二次函数问题来解决．

例1           已知等差数列的通项公式为，求其前项和的最大值．

解：由题意易得．

由公式求得．

因为，则由二次函数的性质可知，当或时，取得最大值，为132．

变式2：.

在变式1中，令即得该式．

例2           设 是等差数列，，求此数列的通项公式．

解：由，

将化简，可得．

，即．

由，得．，

．

由于也满足，故．

变式3：．

由变式1两边同除以，即得该式．该式说明对任意，所有的点都在同一条直线上，从而对有：（常数），即数列是一个等差数列．

例3           在等差数列中，若，求的值．

　　解：由题意知，三点在同一条直线上，

从而有，化简得．故．

　　变式4：．

　　由及，

　　有，

　　所以．

　　该式给出的是数列中的项与之间的关系．常运用此式解决有关等差数列的和与项之间的有关问题．

例4           已知数列是公差不为零的等差数列，且，求．

解：由变式4，有，

即．

几种常用的数学思想

数列是高中数学的重要内容，其涉及的基础知识、数学思想方法、对高等数学的学习起着重要作用，因而成为高考久考不衰的内容．下面通过实例介绍几种在等差数列中常用的思想方法．

一、    整体思想

有些等差数列问题，分开求解运算复杂且解题思路不明，若通过对问题的整体结构进行

分析，常可简化解题过程，减少运算量．

例1         一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为，

求公差．

解：由题意知．

评析：若分别求和计算很繁琐，此时将整体处理，则可以繁为简．

二、    方程思想

用方程思想处理等差数列问题，就是将原问题转化为确定参数的问题，而这些参数的确

定又需通过对方程（组）的研究来完成．

例2         是否存在这样的等差数列，使它的首项为1，公差不为零，且其前项中，

前项的和与后项的和的比值对于任意自然数都等于常数？若存在，求出数列的通项公式及该常数；若不存在，说明理由．

解：若存在这样的等差数列，其公差为，前项的和记为，则其后项的和为．

　　由题意，记（为常数），

　　将其变形得．　　　　①

    将和代入①，

化简整理得．　　②

要使②成为恒等式的充要条件是即

故存在这样的等差数列，其通项公式为，常数．

评析：此类“存在性”问题，通常是运用方程思想将原问题转化为对参数的求解问题．

三、    函数思想

数列是特殊的函数，所以可用函数观点把数列中的数量关系表示出来加以研究，这种利

用函数思想合理转化的手段是解决等差数列问题的重要策略．

例3         已知在等差数列中，，求这个数列的前项的和．

解：由于是关于的一次函数，

则点共线．

由斜率相等得，解得．

所以该数列前项的和为33．

评析：在等差数列中，其前项和公式可以变形为，所以

是的一次函数，且点均在直线上．因此，在解等差数列问题时，若能把问题转化为一次函数来研究，就很方便快捷．

四、    数形结合思想

数形结合的思想是将问题的抽象的数量关系与直观的空间图形结合起来考查，即是把抽

象思维与形象思维有机地结合起来解决问题的一种重要的数学方法，它具有直观性、灵活性、形象性等特点．数形结合贵在结合，只有把数与形完整的结合，才能达到事半功倍的效果．

　　例4 　若是等差数列，首项，则使前项和成立的最大自然数是（　　）

　　Ａ．4005     Ｂ．4006      Ｃ．4007      Ｄ．4008

　　解析：，，

　　为中的最大值．

　　是关于的二次函数，其图象如图所示．

　　到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小．

在对称轴的右侧．根据图象的对称性可得4006在图象中零点的左侧，4007，4008都在点右侧，

使成立的最大的自然数是4006．故选（Ｂ）．