2021学年2.3 等差数列的前n项和学案

等差数列的前n项和

学习目的：

1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.

2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.

学习重点：熟练掌握等差数列的求和公式

学习难点：灵活应用求和公式解决问题

内容分析：
      本节是在集合与简易逻辑之后学习的，映射概念本身就属于集合的

学习过程：

一、复习引入：

首先回忆一下上一节课所学主要内容：

1.等差数列的前项和公式1：

2.等差数列的前项和公式2：

3.，当d≠0，是一个常数项为零的二次式

4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:

（1）    利用:

当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值

当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值

（2）    利用：由二次函数配方法求得最值时n的值

   二、讲解  

例1 .求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素个数及这些元素的和.

解：由2n－1＜60,得n＜,又∵n∈N*

∴满足不等式n＜的正整数一共有30个.

即 集合M中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59，组成一个以=1, =59,n=30的等差数列.

∵=,∴==900.

答案：集合M中一共有30个元素，其和为900.

例2.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2，并求这些数的和

分析：满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N*}

解：分析题意可得满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N*}

由3n+2＜100,得n＜32,且m∈N*,

∴n可取0，1，2，3，…，32.

即 在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.

把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，…，98.

它们可组成一个以=2,d=3, =98,n=33的等差数列.

由=,得==1650.

答：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650.

例3已知数列是等差数列，是其前n项和，

求证：⑴，-，-成等差数列；

⑵设 （）成等差数列

证明：设首项是，公差为d

则

∵

∵∴

是以36d为公差的等差数列

同理可得是以d为公差的等差数列.

三、练习：

1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.

分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解.

解：根据题意，得=24, －=27

则设等差数列首项为,公差为d,

则

解之得：     ∴=3+2（n－1）=2n+1.

2．两个数列1, , , ……,, 5和1, , , ……,, 5均成等差数列公差分别是, , 求与的值

  解：5＝1＋8, ＝, 又5＝1＋7, ＝, ∴＝;

        ++……+＝7＝7×＝21,

++ ……+＝3×(1＋5)＝18,

      ∴  ＝.

  3．在等差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{}的前n项和的最小值

  解法1：∵＝＋3d, ∴ －15＝＋9, ＝－24,

∴ ＝－24n＋＝[(n－)－],

     ∴ 当|n－|最小时，最小，

即当n＝8或n＝9时，＝＝－108最小.

  解法2：由已知解得＝－24, d＝3, ＝－24＋3(n－1),

由≤0得n≤9且＝0,

∴当n＝8或n＝9时，＝＝－108最小.

  四、小结  本节课学习了以下内容：是等差数列，是其前n项和，则 （）仍成等差数列

五、课后作业：

1．一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.

  解：由(n－2)·180＝100n＋×10，

求得n－17n＋72＝0,   n＝8或n＝9,

当n＝9时, 最大内角100＋(9－1)×10＝180°不合题意，舍去，∴ n＝8.

2．已知非常数等差数列{}的前n项和满足

(n∈N, m∈R), 求数列{}的前n项和.

解：由题设知

＝lg()＝lgm＋nlg3＋lg2,

 即 ＝[]n＋(lg3＋)n＋lgm,

 ∵ {}是非常数等差数列，当d≠0，是一个常数项为零的二次式

∴≠0且lgm＝0, ∴ m＝－1,

 ∴ ＝(－lg2)n＋(lg3－lg2)n,

 则 当n=1时，＝

当n≥2时,＝－＝(－lg2)(2n－1)＋(lg3－lg2)

＝

∴＝

 d==

=

               =

数列{}是以=为首项,5d=为公差的等差数列，    ∴数列{}的前n项和为

n·()＋n(n－1)·()＝

 3．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差d.

  解：设这个数列的首项为, 公差为d，则偶数项与奇数项分别都是公差为2d的等差数列，由已知得, 解得d＝5.

解法2：设偶数项和与奇数项和分别为S偶，S奇，则由已知得,求得S偶＝192，S奇＝162，S偶－S奇＝6d, ∴ d＝5.

 4．两个等差数列，它们的前n项和之比为, 求这两个数列的第九项的比

  解：.

5．一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110项和

 解：在等差数列中，

, －, －, ……, －, －, 成等差数列，

  ∴ 新数列的前10项和＝原数列的前100项和，

10＋·D＝＝10, 解得D＝－22

   ∴ －＝＋10×D＝－120, ∴ ＝－110.

6．设等差数列{}的前n项和为，已知＝12，>0，<0，(1) 求公差d的取值范围；

(2) 指出, , , ……, 中哪一个最大，说明理由

  解：(1) ,

∵ ＝＋2d＝12, 代入得   , ∴ －<d<－3,

(2) ＝13<0, ∴ <0, 由＝6(＋)>0, ∴ ＋>0,

∴>0,    最大.