人教版新课标A3.2立体几何中的向量方法学案

学习目标

1. 进一步熟练求平面法向量的方法；

2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；

3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.

学习过程

一、课前准备

复习1：已知，试求平面的一个法向量.

复习2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：点到平面的距离的求法

问题：如图A空间一点到平面的距离为,已知平面的一个法向量为,且与不共线,能否用与表示?

分析:过作⊥于O,

连结OA,则

d=||=∵⊥,∴∥.∴cos∠APO=|cos|

∴D. =|||cos|==

新知：用向量求点到平面的距离的方法：

设A空间一点到平面的距离为,平面的一个法向量为，则D. =

试试：在棱长为1的正方体中，

     求点到平面的距离.

反思：当点到平面的距离不能直接求出的情况下，可以利用法向量的方法求解.

※ 典型例题

例1 已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.

变式：如图,是矩形,平面,,,分别是的中点,求点到平面的距离.

小结：求点到平面的距离的步骤：

⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵ 求平面的一个法向量的坐标；

⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷ 代入公式求出距离.

探究任务二：两条异面直线间的距离的求法

例2 如图，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和,使得,且

.已知，求公垂线的长.

变式：已知直三棱柱的侧棱,底面中, ，且,是的中点,求异面直线与的距离.

小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量，再在两条直线上分别取一点，则两条异面直线间距离求解.

三、总结提升

※ 学习小结

1.空间点到直线的距离公式                   

2.两条异面直线间的距离公式                

※ 知识拓展

用向量法求距离的方法是立体几何中常用的方法.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（    ）.

  A. 很好   B. 较好   C. 一般   D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 在棱长为1的正方体中，平面的一个法向量为             ；

2. 在棱长为1的正方体中，异面直线和所成角是         ；

3. 在棱长为1的正方体中，两个平行平面间的距离是             ；

4. 在棱长为1的正方体中，异面直线和间的距离是             ；

5. 在棱长为1的正方体中，点是底面中心，则点O到平面的距离是        .

课后作业

1. 如图，正方体的棱长为1，点是棱中点，点是中点，求证：是异面直线与的公垂线，并求的长.

2. 如图，空间四边形各边以及的长都是1，点分别是边的中点，连结.

⑴ 计算的长；

⑵求点到平面的距离.