数学选修2-13.2立体几何中的向量方法第3课时当堂检测题

这是一份数学选修2-13.2立体几何中的向量方法第3课时当堂检测题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第3章   3.2   第3课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．如图，正棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)A.　　　　　　　　　　 B.C.   D.解析：　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，设AB＝1.则B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)＝(0,1，－2)，＝(－1,0,2)cos〈，〉＝＝＝－∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为，故选D.答案：　D2．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成的二面角的余弦值为(　　)A.   B.C.   D.解析：　设正三棱锥P－ABC，PA，PB，PC两两互相垂直，设PA＝PB＝PC＝a.取AB的中点D，连结PD、CD，易知∠PDC为侧面PAB与底面ABC所成的角．易求PD＝a，CD＝a，故cos∠PDC＝＝.答案：　B3．若平面α的一个法向量n＝(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(1,2,3)，则l与α所成角的正弦值为(　　)A.   B.C．－   D.解析：　cos〈a，n〉＝＝＝＝.答案：　B4．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为(　　)A．150°   B．45°C．60°   D．120°解析：　由条件，知·＝0，·＝0，＝＋＋.∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋82＋2×6×8cos，＝(2)2，∴cos，＝－，，＝120°，∴二面角的大小为60°.故选C.答案：　C二、填空题(每小题5分，共10分)5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是________．解析：　如图，以DA、DC、DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易证是平面A1BD的一个法向量．＝(－1,1,1)，＝(－1,0,1)．cos〈，〉＝＝.所以BC1与平面A1BD所成角的正弦值为.答案：　6．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的余弦值为________．解析：　取BC中点O，连结AO，DO.建立如右图所示坐标系，设BC＝1，则A，B，D.∴＝，＝，＝.由于＝为面BCD的法向量，可进一步求出面ABD的一个法向量n＝(1，－，1)，∴cos〈n，〉＝.答案：　三、解答题(每小题10分，共20分)7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E，F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝BF＝1，求直线EC1与FD1所成角的余弦值解析：　以D为坐标原点，，，分别为x轴、y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．则有D1(0,0,2)，E(3,3,0)，F(2,4,0)，C1(0,4,2)，于是＝(－3,1,2)，＝(－2，－4,2)，设与所成的角为β，则cos β＝＝，所以直线EC1与FD1所成的角的余弦值为.8.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为BC的中点，F为CC1的中点．(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；(2)求二面角F－DE－C的余弦值．解析：　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，E(1,2,0)，F(0,2,2)．(1)＝(－1,0,2)，易得平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，设与n的夹角为θ，则cos θ＝＝，∴EF与平面ABCD所成的角的余弦值为.(2)＝(－1,0,2)，＝(0,2,2)，设平面DEF的一个法向量为m，则m·＝0，m·＝0，可得m＝(2，－1,1)，∴cos〈m，n〉＝＝，∴二面角F－DE－C的余弦值为.尖子生题库☆☆☆9．(10分)如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；(3)是否存在点E，使得二面角A－DE－P为直二面角？并说明理由．解析：　以A为原点，，分别为y轴、z轴的正方向，过A点且垂直于平面PAB的直线为x轴，建立空间直角坐标系Axyz，设PA＝a，由已知可得：A(0,0,0)，B(0，a,0)，C，P(0,0，a)．(1)证明：＝(0,0，a)，＝，∴·＝0，∴BC⊥AP.又∵∠BCA＝90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.(2)∵D为PB的中点，DE∥BC，∴E为PC的中点，∴D，E，∴由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵＝，＝，∴cos∠DAE＝＝，∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为.(3)∵DE∥BC，又由(1)知BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A－DE－P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A－DE－P是直二面角．