人教版新课标A选修2-13.2立体几何中的向量方法教学设计

立体几何中的向量方法

【教学目标】

1. 向量运算在几何证明与计算中的应用；

2. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题。

【导入新课】

复习引入

1. 用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是：⑴如何把已知的几何条件（如线段、角度等）转化为向量表示；　⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式；　⑶如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？

2. 通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？

⑴利用定义a·b＝|a||b|cos＜a,b＞或cos＜a,b＞＝，可求两个向量的数量积或夹角问题；

⑵利用性质a⊥ba·b＝０可以解决线段或直线的垂直问题；

　⑶利用性质a·a＝｜a｜2，可以解决线段的长或两点间的距离问题。

新授课阶段

例1：已知空间四边形OABC中，，．求证：。

证明：＝ ＝－。

∵，， ∴，，

　，．

∴，。

∴＝，＝0． ∴

例2：如图，已知线段AB在平面α内，线段，线段BD⊥AB，线段，，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D间的距离。

解：由，可知。

由可知，＜＞＝，

∴＝＝＋＋＋2(＋＋)＝＝。

∴。

例3：如图，M、N分别是棱长为1的正方体的棱、的中点．求异面直线MN与所成的角。

解：∵＝，＝，

∴＝·＝(＋＋＋)。

　∵，，，∴，，，

　∴＝＝． …求得 cos＜＞，∴＜＞＝.

例4在正方体中，E、F分别是、CD的中点，求证：平面ADE。

证明：不妨设已知正方体的棱长为１个单位长度，且设＝i，＝j，＝k．以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系D－xyz，则

∵＝(-1,0,0)，＝(0,,-1)，∴·＝(-1,0,0)·(0,,-1)＝0，∴AD．

　又＝(0,1,)，∴·＝(0,1,)·(0,,-1)＝0，∴ AE．

　又，∴平面ADE。

课堂小结

1.将立体几何问题转化为向量问题的途径：

（1）通过一组基向量研究的向量法，它利用向量的概念及其运算解决问题；

（2）通过空间直角坐标系研究的坐标法，它通过坐标把向量转化为数及其运算来解决问题。

2.向量法解题“三步曲”：（1）化为向量问题 →（2）进行向量运算 →（3）回到图形问题.

作业

见同步练习部分

拓展提升

1．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD中点，则的大小为                                                        （              ）

A.            B.            C.            D.

2．三棱锥A—BCD的高AH = 3，H是底面△BCD的重心．若AB=AC，二面角A—BC—D为60°，G是△ABC的重心，则HG的长为                            （              ）

A．    B．     C．     D．

3．PA，PB，PC是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60º，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为                                                        （              ）

A． B。 C。 D。

4．设某一向量与空间直角坐标系三轴间的夹角分别为60，120，m，则m =        ．

5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，给出下列四个命题：

①；

②；

③和的夹角为60°；

④正方体的体积为．

其中所有错误命题的序号为                  ．

6．如图，直三棱柱ABC-，底面ΔABC中，CA=CB=1，∠BCA=，棱=2，M、N分别是、的中点。

（1）求的长；

（2）求，的值；

（3）求证。

7． 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC=，AA1=1，∠ACB=90°。

（1）求异面直线A1B与CB1所成角余弦值；

（2）问：在A1B1边上是否存在一点Q，使

得平面QBC与平面A1BC所成的角为30°，

若存在，请求点Q的位置，若不存在，

请说明理由。

8．如图直角梯形OABC中，，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，SO=1，以OC、OA、OS分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz。

（1）求与的夹角的大小（结果用反三角函数表示）；

（2）设n=（1，p，q），满足n⊥平面SBC，求：

①n的坐标；

②OA与平面SBC的夹角；

③O到平面SBC的距离。

参考答案

1．D

2．C

3．C

4．45或135【解析】。

5．设AA1=1．命题①：，为真命题；命题②：，为真命题；命题③：和的夹角等于∠A1BC1=60°，为真命题；命题④：，故为假命题．所以，所有错误命题的序号为④．

6．解： 如图，以C为原点建立空间直角坐标系O．

（1）依题意得B，N，∴．

（2）依题意得，B，C，．

∴，．

,，．

∴．

（3）证明：依题意得，M，，，

∴，∴．

7． 解： (1)建立如示空间直角坐标系，则，，

，

，

．

即异面直线A1B与CB1所成角的余弦值为 。

（2）答：存在这样的点Q，使得面QBC与面A1BC成30°角 

解：∵是直三棱柱，又∠ACB=90°，∴BC⊥CA1，BC⊥，∠A1CC1是二面角A1－BC－C1所成的平面角．

在RtΔA1C1C中，∠A1CC1=60°，在A1B1边上取一点Q，在平面A1B1C1中作QP∥B1C1，交A1C1于P，连PC，则P,Q,B,C共面，

∴∠A1CP就是Q—BC—A1的平面角为30° 

∵30°<60°，故有在点P，在角A1CC1的平分线上，在RtΔPC1C中，可得 

又A1B1=，由相似比可得，Q在距A点处（或距B1点处） 

8．解：（1）如图所示：C(2，0，2)，S(0，0，1)，O(0，0，0)，B(1，1，0)．

∴，，

∴，

（2）①，．

∵n⊥平面SBC，

∴n⊥，n⊥

∴n，n 

解得p=1，q=2．

故n =（1，1，2）．

②过O作OE⊥BC于E，则BC⊥平面SOE，于是平面SOE⊥平面SAB 

又两平面交于SE，过O作OH⊥SE于H，则OH⊥平面SBC．延长OA与CB交于F，则OF=2，连FH，则∠OFH为所求。             

又，故，从而。

∴， ∴

③即为所求的点面距离。