2020-2021学年第三章 空间向量与立体几何综合与测试课后复习题

《用空间向量法求解立体几何问题典例及解析》

以多面体为载体，以空间向量为工具，来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题，是近年来高考数学的重点和热点，用空间向量解立体几何问题，极大地降低了求解立几的难度，很大程度上呈现出程序化思想。更易于学生们所接受，故而执教者应高度重视空间向量的工具性。

首先，梳理一下利用空间向量解决立体几何的知识和基本求解方法

一：利用空间向量求空间角

(1)两条异面直线所成的夹角

范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是                 。

向量求法：设直线的方向向量为，其夹角为，则有

(2)直线与平面所成的角

定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。

范围：直线和平面所夹角的取值范围是                 。

向量求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与法向量所成角的余弦值为直线与平面所成的角为，则有或在平面内任取一个向量，则.

(3)二面角

二面角的取值范围是                    .

二面角的向量求法：

方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的              即为所求的二面角的大小；

方法二：设，分别是两个面的           ，则向量与的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。

二：利用空间向量求空间距离

（1）点面距离的向量公式

平面的法向量为n，点P是平面外一点，点M为平面内任意一点，则点P到平面的距离d就是                                ，即d=.

（2）线面、面面距离的向量公式

平面∥直线l，平面的法向量为n，点M∈、P∈l，平面与直线l间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=                   .

平面∥β，平面的法向量为n，点M∈、P∈β，平面与平面β的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.

（3）异面直线的距离的向量公式

设向量n与两异面直线a、b都垂直，M∈a、P∈b，则两异面直线a、b间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.

三：利用空间向量解证平行、垂直关系

1：①所谓直线的方向向量，就是指　　　　　　　　　　　　的向量，一条直线的方向向量有　　　个。

②所谓平面的法向量，就是指所在直线与平面垂直的直线，一个平面的法向量也有　　　　　个。

:2．线线平行

证明两条直线平等，只要证明这两条直线的方向向量是　　　　　　　　　，也可以证这两条直线平行于同一个平面的法向量。

3线面平行

证明线面平行的方法：

（1）证明直线的方向向量与平面的法向量　　　　　　　　　　　；

（2）证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量　　　　　　　　　；

（3）利用共面向量基本定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量是　　　　　　　　　　　　　。　

4．面面平行的证明方法：

（1）转化为　　　　　　　　　、　　　　　　　　　处理；

（2）证明这两个平面的法向量是　　　　　　　　　　。

5利用空间向量解证垂直关系

⑴．线线垂直：证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量是　　　　　　　　；

⑵．线面垂直的证明方法：

①证明线面垂直的方法是证明这两条直线的方向向量是　　　　　　　　　　　；

②证明直线与平面内的　　　　　　　　　　　　　　；

⑶．面面垂直的证明方法：

①转化为证明　　　　　　　、　　　　　　　　　；

②证明这两个平面的法向量是　　　　　　　　。

:典题赏析：

题目1：.[2011·四川理]如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，

∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，

连结AP交棱CC1于点D.

(1)求证：PB1∥平面BDA1；

(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值．

解：如图17－1，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1－xyz，则A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，P(0,2,0)．

(1)在△PAA1中有C1D＝AA1，即D.

∴＝(1,0,1)，＝，＝(－1,2,0)．

设平面BA1D的一个法向量为n1＝(a，b，c)，则

令c＝－1，则n1＝.图1－7

∵n1·＝1×(－1)＋×2＋(－1)×0＝0，

∴PB1∥平面BDA1，

(2)由(1)知，平面BA1D的一个法向量n1＝.

又n2＝(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量，

∴cos〈n1，n2〉＝＝＝.故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为.

题目2：如图，在四棱锥中，底面为矩形，

侧棱底面，，，， 

为的中点.

   （Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，

并求出点到和的距离.

解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则的坐标为、

、、、

、，

从而

设的夹角为，则

∴与所成角的余弦值为.

（Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则

，由面可得，

  ∴

即点的坐标为，从而点到和的距离分别为.

因此 ＝，

所以线段BM的长||＝.

题目3. 已知正方体的棱长为a．

(1)求点到平面的距离；

(2)求平面与平面所成的二面角余弦值

解  (1)按如图3-1所示建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、、

、，向量，，．

设是平面的法向量，于是，有

，即．

令得．于是平面的一个法向量是

．                                                   

因此，到平面的距离．(也可用等积法求得)     

(2) 由(1)知，平面的一个法向量是．又因，故平面的一个法向量是．                                      

设所求二面角的平面角为(结合图形可知二面角是锐角，即为锐角)，则

．                                   

题目4：已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。

（Ⅰ）证明：面面；

（Ⅱ）求与所成的角；

（Ⅲ）求面与面所成二面角的余弦值。

证明：以为坐标原点长为单位长度，如图4-1建立空间直角坐标系，则各点坐标为.

（Ⅰ）证明：因

由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面⊥面.

（Ⅱ）解：因

（Ⅲ）解：在上取一点，则存在使

要使

为

所求二面角的平面角.

题目5：如图，平面，四边形是正方形， ，点、、分别为线段、和的中点.

（1）求异面直线与所成角的余弦值

（2）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离恰为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.

解：（1）以点为坐标原点，射线分别为的正半轴建立空间直角坐标系如图示4-1，点、、、，则，.

设异面直线与所成角为

,所以异面直线与所成角大小为.

（2）假设在线段上存在一点满足条件，设点，平面的法向量为

，则有 得到，取，所以，则，又，解得，所以点即，则.所以在线段上存在一点满足条件，且长度为.

题目6：如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上

一点，. 已知

求（Ⅰ）异面直线与的距离；

      （Ⅱ）二面角的大小.

解：（Ⅰ）以为原点，、、分别为

轴建立空间直角坐标系.

由已知可得

设

  由，

即  由，

又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线

,的距离为.

（Ⅱ）作，可设.由得

即作于，设，

则

由，

又由在上得

因故的平面角的大小为向量的夹角.

故  即二面角的大小为

总之，在利用空间向量解决立体几何问题时，经常是通过建立空间直角坐标系，及点的坐标做为沟通向量与几何图形关系的纽带和桥梁的，恰当建系，准确示点，是关键，故而，要适当的加强解题训练，并及时总结，感悟方法，提升能力。

训练题：

1.正方体中，是的中点，是底面的中心，是棱上任意一点，则直线与直线所成的角是(  C   )

A   B     C      D与点的位置有关

2. 空间中有四点，其中，，且，则直线和(   D )A平行  B平行或重合    C必定相交   D必定垂直

3若向量夹角的余弦值是，则的值为(  C   )

A.2       B.－2　　　　C.－2或　　　　D.2或

4直线的方向向量为，平面内两共点向量，下列关系中能表示的是（D　）

A.=    B.=  C.=   D.以上均不能

5以下向量中与向量＝（1,2,3），＝（3,1,2）都垂直的向量为（　C　）

A.(1,7,5)     B.(1,－7,5)   C.(－1，－7,5)　　D.（1，－7，－5）

6在正方体中，棱长为，分别是和上的点，，则与平面的关系是(  B  )A.相交     B.平行     C.垂直   D.不能确定

7已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的底△ABC为直角三角形，∠C=90°；侧棱与底面成60°角，B1点在底面射影D为BC中点,若侧面A1ABB1与C1CBB1成30°的二面角，BC=2cm，则四棱锥A—B1BCC1的体积是（ B     ）

A      B.    C      D

8．已知三个向量两两之间的夹角为，又，则(  C   )

A.3        B.4        C.5        D.6

9. 在长方体中，，则到直线的距离为( A )

A.      B.       C.           D.

10. ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角A—BD—C，E是CD的中点，则异面直线AE、BC的距离为                              (   A )A.     B.                  C.                   D.1

11. 在正方体的侧面内有一动点到直线与直线的距离相等,则动点 所在的曲线的形状为 (  B   )

12. 对于向量a，b，定义a×b为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a×b的模|a×b|＝|a||b|sinθ(其中θ为向量a与b的夹角)，a×b的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次构成右手系.如图，在平行六面体ABCD－EFGH中，∠EAB＝∠EAD＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝AE＝2，则＝         ( D )

A. 4         B. 8           C.           D.

13. 设是平面外一点，点满足，则直线与平面的位置关系是　AP平面

14. 在空间四边形中，分别是和对角线的中点，则平面与平面的位置关系是　　   平面⊥平面

15.设正四棱锥S-ABCD的侧棱之长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角等于__

16. 在空间直角坐标系中，对其中任何一向量，定义范数，它满足以下性质：

，当且仅当为零向量时，不等式取等号； 

(2)对任意的实数，

(注：此处点乘号为普通的乘号)。

(3)。

试求解以下问题：在平面直角坐标系中，有向量，下面给出的几个表达式中，可能表示向量的范数的是____(把所有正确答案的序号都填上) (1)(4)

(1)   (2) (3)(4)

解答题：17. [2011·天津卷] 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，

H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝.

(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；

(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；

(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．

解：如图18-1所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．

依题意得A(2，0,0)，B(0,0,0)，C(，－，)，

A1(2，2，0)，B1(0,2，0)，C1(，，)．

 (1)易得＝(－，－，)，＝(－2，0,0)，于是cos〈，〉＝＝＝.

所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.

(2)易知＝(0,2，0)，＝(－，－，)．

设平面AA1C1的法向量＝(x，y，z)，则         

即

不妨令x＝，可得＝(，0，)．

同样地，设平面A1B1C1的法向量＝(x，y，z)，则

即

不妨令y＝，可得＝(0，，)．

于是cos〈，〉＝＝＝，

从而sin〈，〉＝.

所以二面角A－A1C1－B1的正弦值为.

(3)由N为棱B1C1的中点，得N.

设M(a，b,0)，则＝.

由MN⊥平面A1B1C1，得

即得

∴|BM|=

18.如图，四棱锥中，平面，底面是直角梯形，且，

，，。

（1）求证：；

（2）求点到平面的距离。

解：．（1）如图建系，则

        ，

        ，故。

   （2），设平面的法向量为，

        依题意，，取。

        ，所以点到平面的距离。

19. 如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2．

E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1．

(1) 求二面角C—DE—C1的正切值; (2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值．

解：（I）以A为原点， 分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2),故

设向量与平面C1DE垂直，则有

（II）设EC1与FD1所成角为β，则

20. 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝2C1N．

（Ⅰ）求二面角B1－AM－N的平面角的余弦值；（Ⅱ）求点B1到平面AMN的距离。

解（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,1)，

M（0，，0）,C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，

所以,,

因为

所以,同法可得。

故﹤﹥为二面角—AM—N的平面角

∴﹤﹥＝

故二面角—AM—N的平面角的余弦值为。

（Ⅱ）设n=(x, y, z)为平面AMN的一个法向量，则由得

, 故可取

设与n的夹角为a，则。

所以到平面AMN的距离为。

21. 如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.

（Ⅰ）求BF的长；

（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离.

解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），

A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）.

∵AEC1F为平行四边形，

（II）设为面AEC1F的法向量，

的夹角为a，则

∴C到平面AEC1F的距离为

，，即直线到平面BD的距离是．

22．已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。

（Ⅰ）证明：面面；

（Ⅱ）求与所成的角；

（Ⅲ）求面与面所成二面角的大小。

证明：以为坐标原点长为单位长度，如图25-1建立空间直角坐标系，则各点坐标为

.

（Ⅰ）证明：因

由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面⊥面.

（Ⅱ）解：因

（Ⅲ）解：在上取一点，则存在使

要使

为

所求二面角的平面角.

23.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,

平面底面．

   （Ⅰ）证明：平面；

   （Ⅱ）求面与面所成的二面角的大小．

证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.

   （Ⅰ）证明：不防设作，

则， ， 

由得，又，因而与平面内两条相交直线，都垂直.  ∴平面.

   （Ⅱ）解：设为中点，则，

由

因此，是所求二面角的平面角，

解得所求二面角的大小为

24．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中

.

   （Ⅰ）求的长；

   （Ⅱ）求点到平面的距离.

解：（I）建立如图28-1所示的空间直角坐标系，则，

设.                          

∵为平行四边形，

（II）设为平面的法向量，

的夹角为，则

∴到平面的距离为

25．如图，在长方体，中，，点在棱上移动.（1）证明：；

      （2）当为的中点时，求点到面的距离；

      （3）等于何值时，二面角的大小为.

解：以为坐标原点，直线分别为轴，

建立空间直角坐标系，设，

则

（1）

（2）因为为的中点，则，从而，

，设平面的法向量为，则

也即，得，从而，

所以点到平面的距离为

（3）设平面的法向量，∴

由  令，

∴

依题意

∴（不合，舍去）， .

∴时，二面角的大小为.

26．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上

一点，. 已知

求（Ⅰ）异面直线与的距离；

      （Ⅱ）二面角的大小.

解：（Ⅰ）以为原点，、、分别为

轴建立空间直角坐标系.

由已知可得

设

  由，

即  由，

又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线

,的距离为.

（Ⅱ）作，可设.由得

即作于，设，

则

由，

又由在上得

因故的平面角的大小为向量的夹角.

故  即二面角的大小为

27在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F 分别是AB、PB的中点.

（Ⅰ）求证：EF⊥CD；

（Ⅱ）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论。

解：以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），设AD=a，则D（0，0，0）、A（a,0,0）、B(a,a,0)、C(0,a,0)，、、

（Ⅰ）

（Ⅱ）

28.已知正四棱柱中，，分别为的中点，平面.

（I）求二面角平面角的正切值；

（II）求点到平面的距离．

解： （1）如图建立坐标系，设

故、、、

  即

向量与面垂直

设与面BDN垂直，则

即 

设所求二面角为，则，

（2）由，在向量方向上的投影为，所以到面的距离为