高中数学人教版新课标A选修2-1第三章 空间向量与立体几何综合与测试一课一练

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-1第三章 空间向量与立体几何综合与测试一课一练，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若CA=a,CB=b,CC1=c,则A1B=( )
A.a+b-c B.a-b+c C.-a+b+c D.-a+b-c
2.已知空间向量a=(0,1,1),b=(-1,0,1),则a与b的夹角为( )
A.π3 B.π4 C.π6 D.π2
3.如图,空间四边形ABCD中,N是CD的中点,则AB+12(BD+BC)=( )
A.AN B.BN C.BC D.12BC
4.如图所示,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O是BC的中点,点D在平面yOz上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°,则向量OD的坐标为( )
A.-32,-12,0 B.0,-12,32
C.-12,-32,0 D.0,12,-32
5.三棱锥P-ABC中,M是棱BC的中点,若PM=xAP+yAB+zAC(x,y,z∈R),则x+y+z的值为( )
A.-1 B.0 C.12 D.1
6.已知四面体ABCD的所有棱长都是2,点E,F分别是AD,DC的中点,则EF·BA=( )
A.1 B.-1 C.3 D.-3
7.给出以下命题,其中正确的是( )
A.直线l的方向向量为a=(1,-1,2),直线m的方向向量为b=2,1,-12,则l与m垂直
B.直线l的方向向量为a=(0,1,-1),平面α的法向量为n=(1,-1,-1),则l⊥α
C.平面α、β的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α∥β
D.平面α经过三个点A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,则u+t=1
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则与直线CE垂直的直线是( )
A.AC B.BD C.A1D D.A1A
9.正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是DD1的中点,O是底面ABCD的中心,P是棱A1B1上任意一点,则直线OP与直线AM所成角的大小是( )
A.π4 B.π3
C.π2 D.与点P的位置有关
10.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PD⊥平面ABCD,且PD=AD=1,AB=2,点E是线段AB上一点,当二面角P-EC-D的大小为π4时,AE的长为( )
A.1 B.12 C.2-2 D.2-3
11.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在直线B1P上,则下列结论正确的是( )
A.当点Q为线段B1P的中点时,DQ⊥平面A1BD
B.当点Q为线段B1P的三等分点时,DQ⊥平面A1BD
C.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BD
D.不存在点Q,使DQ与平面A1BD垂直
12.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点,则( )
A.直线D1D与直线AF垂直
B.直线A1G与平面AEF垂直
C.平面AEF截正方体所得的截面面积为98
D.点C和点G到平面AEF的距离相等
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.若a=(2,-1,2),b=(6,-3,2),且(a+λb)⊥a,则实数λ= .
14.如图,在空间四边形ABCD中,AC和BD为对角线,M为BC的中点,G为△ABC的重心,E是BD上一点,BE=3ED,若以{AB,AC,AD}为基底,则GE= .
15.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为1,∠BAD=∠A1AD=∠A1AB=π3,E为CC1的中点,则AE的长度是 .
16.点P是棱长为4的正四面体ABCD表面上的动点,MN是该四面体内切球的一条直径,则PM·PN的最大值是 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)若点D在直线AC上,且BD⊥AC,求点D的坐标;
(2)求以BA,BC为邻边的平行四边形的面积.
18.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=π2,D是棱AC的中点,且AB=BC=BB1=2.
(1)求证:AB1∥平面BC1D;
(2)求异面直线AB1与BC1所成的角.
19.(本小题满分12分)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=2,AA1=5,E,F分别为D1D,B1B上的点,且DE=B1F=1.
(1)求证:BE⊥平面ACF;
(2)求点E到平面ACF的距离.
20.(本小题满分12分)在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,BC∥AD,∠ADC=90°,BC=CD=12AD=1,E为线段AD的中点,过BE的平面与线段PD,PC分别交于点G,F.
(1)求证:GF⊥PA;
(2)若PA=PD=2,是否存在点G,使得直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为105?若存在,确定点G的位置;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=3,点D,E分别在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M为棱A1B1的中点.
(1)求证:C1M⊥B1D;
(2)求二面角B-B1E-D的正弦值;
(3)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值.
22.(本小题满分12分)如图,在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD是矩形,△SAD是等边三角形,平面SAD⊥平面ABCD,AB=1,E为棱SA上一点,P为棱AD的中点,四棱锥S-ABCD的体积为233.
(1)若E为棱SA的中点,F是SB的中点,求证:平面PEF∥平面SCD;
(2)是否存在点E,使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为3010?若存在,确定点E的位置;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
一、选择题
1.D A1B=A1A+AB=-CC1+CB-CA=-c+b-a=-a+b-c.故选D.
2.A 设a与b的夹角为θ,
则cs θ=a·b|a|·|b|=0+0+10+1+1·1+0+1=12,∴θ=π3.故选A.
3.A AB+12(BD+BC)=AB+BN=AN.故选A.
4.B 如图所示,过D作DE⊥BC,垂足为E.在Rt△BCD中,由∠BDC=90°,∠DCB
=30°,BC=2,得BD=1,CD=3,
∴DE=CD·sin 30°=32,
OE=OB-BD·cs 60°=1-12=12.
∴D点坐标为0,-12,32,
∴向量OD的坐标为0,-12,32.
5.B PM=PA+AM=-AP+AM=-AP+12AB+12AC,又PM=xAP+yAB+zAC,所以x=-1,y=12,z=12,所以x+y+z=0.故选B.
6.B 如图所示,EF=12AC,所以EF·BA=12AC·(-AB)=-12×2×2cs 60°=-1.
7.A 对于A,∵a·b=2-1-1=0,
∴a⊥b,∴l与m垂直,A正确;
对于B,∵a与n不共线,
∴直线l不垂直平面α,B错误;
对于C,∵n1与n2不共线,
∴平面α与平面β不平行,C错误;
对于D,AB=(-1,-1,1),BC=(-1,3,0),
由n·AB=-1-u+t=0,n·BC=-1+3u=0,解得u=13,t=43,∴u+t=53,D错误.
故选A.
8.B 如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),C(1,1,0),B(1,0,0),D(0,1,0), A1(0,0,1),E12,12,1,所以CE=-12,-12,1,AC=(1,1,0),BD=(-1,1,0), A1D=(0,1,-1),A1A=(0,0,-1).显然CE·BD=12-12+0=0,所以CE⊥BD,即CE⊥BD.
9.C 如图,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),设P(2,m,2),0≤m≤2,∴AM=(-2,0,1),OP=(1,m-1,2).
∵AM·OP=-2×1+0×(m-1)+1×2=0,
∴AM⊥OP,即AM⊥OP.
∴直线OP与直线AM所成角的大小为π2.
故选C.
10.D 设AE=a(0≤a≤2),以D为坐标原点,DA,DC,DP的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),E(1,a,0),C(0,2,0),P(0,0,1),所以PE=(1,a,-1),PC=(0,2,-1),DP=(0,0,1).设平面PEC的法向量为m=(x,y,z),则m·PE=0,m·PC=0,即x+ay-z=0,2y-z=0,令y=1,可得x=2-a,z=2,则m=(2-a,1,2).易知平面DEC的一个法向量为DP=(0,0,1),则|cs|=2(2-a)2+5=22,解得a=2-3或a=2+3(舍去),所以AE=2-3.故选D.
11.D 以A1为坐标原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,由已知得A1(0,0,0),B1(1,0,0),B(1,0,1),D0,1,12,P(0,2,0),故A1B=(1,0,1),A1D=0,1,12,B1P=(-1,2,0),DB1=1,-1,-12.
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则
n·A1B=x+z=0,n·A1D=y+12z=0,
取z=-2,则x=2,y=1,所以平面A1BD的一个法向量为n=(2,1,-2).假设DQ⊥平面A1BD,且B1Q=λB1P=λ(-1,2,0)=(-λ,2λ,0),则DQ=DB1+B1Q=1-λ,-1+2λ,-12.因为DQ也是平面A1BD的法向量,所以n=(2,1,-2)与DQ=1-λ,-1+2λ,-12共线,于是有1-λ2 = -1+2λ1 =-12-2 = 14成立,但不存在λ使上式成立.故不存在点Q,使DQ与平面A1BD垂直.故选D.
12.C 对于选项A,(解法一)以D点为坐标原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,1), E12,1,0,F0,1,12,G1,1,12,D1(0,0,1).
从而DD1=(0,0,1),AF=-1,1,12,
因为DD1·AF=12≠0,所以直线DD1与直线AF不垂直,选项A错误.
(解法二)取DD1的中点N,连接AN,则AN为直线AF在平面ADD1A1内的投影,AN与DD1不垂直,从而AF与DD1也不垂直,故选项A错误.
对于选项B,A1G=0,1,-12,AE=-12,1,0,AF=-1,1,12,
设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则n·AE=-12x+y=0,n·AF=-x+y+12z=0,令x=2,则y=1,z=2,所以n=(2,1,2).
因为n·A1G=0,又A1G⊄平面AEF,
所以直线A1G与平面AEF平行,故选项B错误.
对于选项C,连接AD1,D1F,延长AE,D1F,交DC的延长线于点H,易知四边形AEFD1为平面AEF截正方体所得的截面四边形(如图所示),且D1H=AH=5,AD1=2,所以S△AD1H=12×2×(5)2-222=32,所以S四边形AEFD1=34S△AD1H=98,故选项C正确.
对于选项D,(解法一)由题意得,
S△GEF=S梯形BEFG-S△EBG
=12×1+12×12-12×12×12=14,
S△ECF=12×12×12=18,
∵VA-GEF=13S△GEF·AB,
VA-ECF=13S△ECF·AB,
∴VA-GEF=2VA-ECF,
即VG-AEF=2VC-AEF,点G到平面AEF的距离为点C到平面AEF的距离的二倍,故D错误.
(解法二)假设点C与点G到平面AEF的距离相等,即平面AEF将CG平分,则平面AEF必过CG的中点,连接CG,交EF于点O,易知O不是CG的中点,所以假设不成立,故选项D错误.
二、填空题
13.答案 -919
解析 ∵a=(2,-1,2),b=(6,-3,2),
∴a+λb=(2+6λ,-1-3λ,2+2λ).
∵(a+λb)⊥a,
∴(a+λb)·a=0,即(2+6λ)×2+(-1-3λ)×(-1)+(2+2λ)×2=0,
解得λ=-919.
14.答案 -112AB-13AC+34AD
解析 GE=GA+AD+DE=-23AM+AD+14DB=-23×12(AB+AC)+AD+14(AB-AD)= -13(AB+AC)+AD+14(AB-AD)=-112AB-13AC+34AD.
15.答案 172
解析 由题图可知,AE=AB+BC+12CC1,
所以|AE|2=AB+BC+12CC12
=AB2+BC2+14CC12+2AB·BC+AB·CC1+BC·CC1
=|AB|2+|BC|2+14|CC1|2+2|AB|·|BC|·cs 60°+|AB|·|CC1|cs 60°+
|BC|·|CC1|cs 60°=1+1+14+2×12+12+12=174.
所以|AE|=172.
16.答案 163
解析 如图所示.
设四面体的内切球的球心为点O,连接AO并延长交底面BCD于点E,则E为正三角形BCD的中心,且AE⊥平面BCD.
连接BE并延长交CD于点F,则F为CD的中点,且BF⊥CD.
∴BF=BC2-CF2=23,BE=23BF=433.
∵AE⊥平面BCD,BE⊂平面BCD,∴AE⊥BE,∴AE=AB2-BE2=463.
又S△BCD=12CD·BF=43,
∴VABCD=13S△BCD·AE=1623.
连接OB,OC,OD.设球O的半径为R,则VABCD=VOBCD+VOACD+VOABD+VOABC=4VOBCD=4×13S△BCD·R,
∴R=3VABCD4S△BCD=63.
∴AO=AE-OE=6.
∵PM=PO+OM,PN=PO+ON=PO-OM,
∴PM·PN=(PO+OM)·(PO-OM)=PO2-OM2=PO2-23,
∴当点P位于正四面体ABCD的顶点时,|PO|取得最大值,
∴PM·PN=PO2-23≤AO2-23=6-23=163.
三、解答题
17.解析 (1)设O为坐标原点,由题意得AC=(1,-3,2),OA=(0,2,3),
OB=(-2,1,6).
∵点D在直线AC上,
∴设AD=λAC,(1分)
∴OD=OA+AD=OA+λAC=(λ,2-3λ,3+2λ),
∴BD=OD-OB=(λ,2-3λ,3+2λ)-(-2,1,6)=(λ+2,1-3λ,2λ-3).(2分)
由题意得AC·BD=(1,-3,2)·(λ+2,1-3λ,2λ-3)=λ+2-3+9λ+4λ-6 =14λ-7=0,
∴λ=12.(4分)
∴D12,12,4.(5分)
(2)由题意得BA=(2,1,-3),BC=(3,-2,-1).(6分)
∴|BA|=22+12+(-3)2=14,|BC|=32+(-2)2+(-1)2=14,
BA·BC=2×3+1×(-2)+(-3)×(-1)=7.(8分)
∴cs B=cs=BA·BC|BA||BC|=714×14=12,sin B=32,(9分)
∴以BA,BC为邻边的平行四边形的面积为14×14×32=73.(10分)
18.解析 (1)证明:如图,连接B1C交BC1于点O,连接OD.(1分)
∵O为B1C的中点,D为AC的中点,
∴OD∥AB1.(4分)
∵AB1⊄平面BC1D,OD⊂平面BC1D,
∴AB1∥平面BC1D.(6分)
(2)建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.
则B(0,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,2),B1(0,0,2).(7分)
∴AB1=(0,-2,2),BC1=(2,0,2).(8分)
∴cs=AB1·BC1|AB1||BC1|=0+0+422×22=12.(10分)
设异面直线AB1与BC1所成的角为θ,则cs θ=12.
∵θ∈0,π2,∴θ=π3.(12分)
19.解析 (1)证明:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,1), F(2,2,4).(1分)
∴AC=(-2,2,0),AF=(0,2,4),
BE=(-2,-2,1).(4分)
∵BE·AC=0,BE·AF=0,
∴BE⊥AC,BE⊥AF,又AC∩AF=A,
∴BE⊥平面ACF.(6分)
(2)由(1)知,BE=(-2,-2,1)为平面ACF的一个法向量,AE=(-2,0,1),(9分)
∴点E到平面ACF的距离为|AE·BE||BE|=53.(12分)
20.解析 (1)证明:∵BC=12AD,且E为线段AD的中点,∴BC=DE,
又BC∥AD,∴四边形BCDE为平行四边形,∴BE∥CD.(1分)
又CD⊂平面PCD,BE⊄平面PCD,
∴BE∥平面PCD.(2分)
又平面BEGF∩平面PCD=GF,∴BE∥GF.(3分)
∵BE⊥AD,且平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴BE⊥平面PAD,∴GF⊥平面PAD.(4分)
又PA⊂平面PAD, ∴GF⊥PA.(5分)
(2)存在,G为DP上靠近D点的三等分点.(6分)
连接PE.∵PA=PD,E为线段AD的中点,∴PE⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PE⊥平面ABCD.(7分)
以E为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Exyz,
则P(0,0,1),B(0,1,0),E(0,0,0),D(-1,0,0),
∴PB=(0,1,-1),BE=(0,-1,0),DP=(1,0,1).
设DG=λDP(0≤λ≤1),得G(λ-1,0,λ),∴EG=(λ-1,0,λ).(8分)
设平面BEGF的法向量为n=(x,y,z),
则BE·n=0,EG·n=0,即y=0,(λ-1)x+λz=0,
令x=λ,可得n=(λ,0,1-λ).(9分)
设直线PB与平面BEGF所成角为α,
则sin α=|cs|=|n·PB||n|·|PB|=|λ-1|2λ2+(1-λ)2=105,
解得λ=13或λ=-1(舍).(11分)
∴存在点G-23,0,13,使得直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为105,此时G为DP上靠近D点的三等分点.(12分)
21.解析 依题意,以C为原点,分别以CA,CB,CC1的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),可得C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,3),
B1(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3).(1分)
(1)证明:依题意,C1M=(1,1,0),B1D=(2,-2,-2),从而C1M·B1D=2-2+0=0,所以C1M⊥B1D.(3分)
(2)依题意,CA=(2,0,0)是平面BB1E的一个法向量,EB1=(0,2,1),ED=(2,0,-1).(4分)
设n=(x,y,z)为平面DB1E的法向量,则n·EB1=0,n·ED=0,即2y+z=0,2x-z=0.不妨设x=1,可得n=(1,-1,2).(6分)
因此有cs=CA·n|CA||n|=66,于是sin=306.
所以二面角B-B1E-D的正弦值为306.(8分)
(3)依题意,AB=(-2,2,0).由(2)知n=(1,-1,2)为平面DB1E的一个法向量,于是cs=AB·n|AB||n|=-33.(10分)
所以直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为33.(12分)
22.解析 (1)证明:连接SP.在等边三角形SAD中,P为AD的中点,于是SP⊥AD.
又平面SAD⊥平面ABCD,
平面SAD∩平面ABCD=AD,
SP⊂平面SAD,
所以SP⊥平面ABCD,(1分)
所以SP是四棱锥S-ABCD的高.
设AD=m,则SP=32m,S矩形ABCD=m,
所以VS-ABCD=13S矩形ABCD·SP=13m·32m=233,所以m=2.(2分)
如图,以点P为坐标原点,PA所在直线为x轴,过点P且与AB平行的直线为y轴,PS所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则P(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),S(0,0,
3),E12,0,32,F12,12,32,C(-1,1,0),D(-1,0,0),(3分)
∴PE=12,0,32,PF=12,12,32,SC=(-1,1,-3),SD=(-1,0,-3).(4分)
设n1=(x1,y1,z1)是平面PEF的法向量,
则n1·PE=0,n1·PF=0,
即12x1+32z1=0,12x1+12y1+32z1=0,
令z1=1,则x1=-3,y1=0,
∴n1=(-3,0,1).(5分)
同理可得平面SCD的一个法向量n2=(-3,0,1).
∵n1=n2,∴平面PEF∥平面SCD.(6分)
(2)存在.理由如下:PB=(1,1,0),设AE=λAS=λ(-1,0,3)=(-λ,0,3λ)(0≤λ≤1),则PE=PA+AE=(1,0,0)+(-λ,0,3λ)=(1-λ,0,3λ).(8分)
设平面PEB的一个法向量为m1=(x,y,z),
则m1·PE=(1-λ)x+3λz=0,m1·PB=x+y=0,
令x=3λ,则m1=(3λ,-3λ,λ-1).
易知平面SAD的一个法向量m2=AB=(0,1,0).
∴|cs|=|m1·m2||m1||m2|=|-3λ|7λ2-2λ+1=3010,(10分)
因为0≤λ≤1,所以λ=13,(11分)
所以存在点E,位于AS上靠近A点的三等分点.(12分)