2020-2021学年第三章 空间向量与立体几何综合与测试导学案
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【例1】 (1)已知|a|=3eq \r(2),|b|=4,a与b的夹角为135°,m=a+b,n=a+λb.若m⊥n,则λ=( )
A.eq \f(2,3) B.-eq \f(2,3)
C.eq \f(3,2) D.-eq \f(3,2)
(2)如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论:
①eq \(SA,\s\up7(→))+eq \(SB,\s\up7(→))+eq \(SC,\s\up7(→))+eq \(SD,\s\up7(→))=0;
②eq \(SA,\s\up7(→))+eq \(SB,\s\up7(→))-eq \(SC,\s\up7(→))-eq \(SD,\s\up7(→))=0;
③eq \(SA,\s\up7(→))-eq \(SB,\s\up7(→))+eq \(SC,\s\up7(→))-eq \(SD,\s\up7(→))=0;
④eq \(SA,\s\up7(→))·eq \(SB,\s\up7(→))=eq \(SC,\s\up7(→))·eq \(SD,\s\up7(→));
⑤eq \(SA,\s\up7(→))·eq \(SC,\s\up7(→))=0.
其中正确结论的序号是________.
(1)D (2)③④ [(1)由题意知,m·n=(a+b)·(a+λb)
=|a|2+λa·b+a·b+λ|b|2
=18+λ×3eq \r(2)×4×cs 135°+3eq \r(2)×4×cs 135°+λ×16=6+4λ.
因为m⊥n,所以6+4λ=0,所以λ=-eq \f(3,2).
(2)容易推出eq \(SA,\s\up7(→))-eq \(SB,\s\up7(→))+eq \(SC,\s\up7(→))-eq \(SD,\s\up7(→))=eq \(BA,\s\up7(→))+eq \(DC,\s\up7(→))=0,所以③正确;又因为底面ABCD是边长为1的正方形,SA=SB=SC=SD=2,所以eq \(SA,\s\up7(→))·eq \(SB,\s\up7(→))=2·2·cs∠ASB,eq \(SC,\s\up7(→))·eq \(SD,\s\up7(→))=2·2·cs∠CSD,而∠ASB=∠CSD,于是eq \(SA,\s\up7(→))·eq \(SB,\s\up7(→))=eq \(SC,\s\up7(→))·eq \(SD,\s\up7(→)),因此④正确,其余三个都不正确,故正确结论的序号是③④.]
1.空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算,选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用它们表示出目标向量,这是用向量法解决立体几何问题的基本要求,解题时可结合已知和所求,根据图形,利用向量运算法则表示所需向量.
2.空间向量的数量积
(1)空间向量的数量积的定义表达式a·b=|a|·|b|·cs〈a,b〉及其变式cs〈a,b〉=eq \f(a·b,|a| ·|b|)是两个重要公式.
(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式,如a2=|a|2,a在b上的投影eq \f(a·b,|b|)=|a|·cs θ等.
eq \O([跟进训练])
1.已知P是正六边形ABCDEF外一点,O是正六边形ABCDEF的中心,则eq \(PA,\s\up7(→))+eq \(PB,\s\up7(→))+eq \(PC,\s\up7(→))+eq \(PD,\s\up7(→))+eq \(PE,\s\up7(→))+eq \(PF,\s\up7(→))等于( )
A.eq \(PO,\s\up7(→)) B.3eq \(PO,\s\up7(→))
C.6eq \(PO,\s\up7(→)) D.0
C [∵O是正六边形ABCDEF的中心,
∴O是对角线AD的中点,也是对角线BE的中点,
还是对角线CF的中点.
∴eq \(PO,\s\up7(→))=eq \f(\(PA,\s\up7(→))+\(PD,\s\up7(→)),2),eq \(PO,\s\up7(→))=eq \f(\(PE,\s\up7(→))+\(PB,\s\up7(→)),2),eq \(PO,\s\up7(→))=eq \f(\(PC,\s\up7(→))+\(PF,\s\up7(→)),2),
∴eq \(PA,\s\up7(→))+eq \(PB,\s\up7(→))+eq \(PC,\s\up7(→))+eq \(PD,\s\up7(→))+eq \(PE,\s\up7(→))+eq \(PF,\s\up7(→))=6eq \(PO,\s\up7(→)),故选C.]
【例2】 (1)已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=eq \f(1,2)x-2a,则x=( )
A.(0,3,-6) B.(0,6,-20)
C.(0,6,-6) D.(6,6,-6)
(2)已知向量a=(x,1,2),b=(1,y,-2),c=(3,1,z),a∥b,b⊥c.
①求向量a,b,c;
②求a+c与b+c所成角的余弦值.
(1)B [由b=eq \f(1,2)x-2a得x=4a+2b,
又4a+2b=4(2,3,-4)+2(-4,-3,-2)=(0,6,-20),
所以x=(0,6,-20).]
(2)解:①∵向量a=(x,1,2),b=(1,y,-2),c=(3,1,z),且a∥b,b⊥c,
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x,1)=\f(1,y)=\f(2,-2),3+y-2z=0)),解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-1,,y=-1,,z=1,))
∴向量a=(-1,1,2),b=(1,-1,-2),c=(3,1,1).
②∵a+c=(2,2,3),b+c=(4,0,-1),
∴(a+c)·(b+c)=2×4+2×0+3×(-1)=5,
|a+c|=eq \r(22+22+32)=eq \r(17),|b+c|
=eq \r(42+02+-12)=eq \r(17),
∴a+c与b+c所成角的余弦值为eq \f(a+c·b+c,|a+c||b+c|)=eq \f(5,17).
熟记空间向量的坐标运算公式,设a=x1,y1,z1,b=x2,y2,z2,
1加减运算:a±b=x1±x2,y1±y2,z1±z2.
2数量积运算:a·b=x1x2+y1y2+z1z2.
3向量夹角:cs〈a,b〉=.
4向量长度:设M1x1,y1,z1,M2x2,y2,z2,,则.
提醒:在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算.
eq \O([跟进训练])
2.在空间直角坐标系中,已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC一定是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
C [∵eq \(AB,\s\up7(→))=(3,4,-8),eq \(AC,\s\up7(→))=(5,1,-7),eq \(BC,\s\up7(→))=(2,-3,1),∴|eq \(AB,\s\up7(→))|=eq \r(32+42+-82)=eq \r(89),|eq \(AC,\s\up7(→))|=eq \r(52+12+-72)=eq \r(75),|eq \(BC,\s\up7(→))|=eq \r(22+-32+1)=eq \r(14),∴|eq \(AC,\s\up7(→))|2+|eq \(BC,\s\up7(→))|2=|eq \(AB,\s\up7(→))|2,∴△ABC一定为直角三角形.]
【例3】 在底面是矩形的四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,点E,F分别是PB,PD的中点,PA=AB=1,BC=2.
求证:(1)EF∥平面ABD;
(2)平面PAD⊥平面PDC.
[证明] (1)以点A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1).因为点E,F分别是PB,PD的中点,所以Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,1,\f(1,2))),Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),0,\f(1,2))),eq \(FE,\s\up7(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),-1,0)),eq \(BD,\s\up7(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-1,2,0)),eq \(FE,\s\up7(→))=-eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up7(→)),
即EF∥BD,又BD⊂平面ABD,EF⊄平面ABD,
所以EF∥平面ABD.
(2)由(1)可知eq \(PB,\s\up7(→))=(1,0,-1),eq \(PD,\s\up7(→))=(0,2,-1),eq \(AP,\s\up7(→))=(0,0,1),eq \(AD,\s\up7(→))=(0,2,0),eq \(DC,\s\up7(→))=(1,0,0),
因为eq \(AP,\s\up7(→))·eq \(DC,\s\up7(→))=(0,0,1)·(1,0,0)=0,eq \(AD,\s\up7(→))·eq \(DC,\s\up7(→))=(0,2,0)·(1,0,0)=0,
所以eq \(AP,\s\up7(→))⊥eq \(DC,\s\up7(→)),eq \(AD,\s\up7(→))⊥eq \(DC,\s\up7(→)),即AP⊥DC,AD⊥DC.
又AP∩AD=A,
所以DC⊥平面PAD.
因为DC⊂平面PDC,
所以平面PAD⊥平面PDC.
利用空间向量证明空间中的位置关系
1线线平行:
证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量.
2线线垂直:
证明两条直线垂直,只需证明两直线的方向向量垂直.
3线面平行:
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;
②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量;
③利用共面向量定理,即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示.
4线面垂直:
①证明直线的方向向量与平面的法向量平行;
②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.
5面面平行:
①证明两个平面的法向量平行即是共线向量;
②转化为线面平行、线线平行问题.
6面面垂直:
①证明两个平面的法向量互相垂直;
②转化为线面垂直、线线垂直问题.
eq \O([跟进训练])
3.如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M为CE的中点.
求证:(1)BM∥平面ADEF;
(2)BC⊥平面BDE.
[证明] ∵平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,AD⊥ED,∴ED⊥平面ABCD.
以D为原点,eq \(DA,\s\up7(→)),eq \(DC,\s\up7(→)),eq \(DE,\s\up7(→))分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系.
则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),F(2,0,2).
(1)∵M为EC的中点,∴M(0,2,1),
则eq \(BM,\s\up7(→))=(-2,0,1),eq \(AD,\s\up7(→))=(-2,0,0),eq \(AF,\s\up7(→))=(0,0,2),
∴eq \(BM,\s\up7(→))=eq \(AD,\s\up7(→))+eq \f(1,2)eq \(AF,\s\up7(→)),故eq \(BM,\s\up7(→)),eq \(AD,\s\up7(→)),eq \(AF,\s\up7(→))共面.
又BM⊄平面ADEF,∴BM∥平面ADEF.
(2)eq \(BC,\s\up7(→))=(-2,2,0),eq \(DB,\s\up7(→))=(2,2,0),eq \(DE,\s\up7(→))=(0,0,2),
∵eq \(BC,\s\up7(→))·eq \(DB,\s\up7(→))=-4+4=0,∴BC⊥DB.
又eq \(BC,\s\up7(→))·eq \(DE,\s\up7(→))=0,∴BC⊥DE.
又DE∩DB=D,∴BC⊥平面BDE.
【例4】 如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.
(1)求证:EG∥平面ADF;
(2)求二面角OEFC的正弦值;
(3)设H为线段AF上的点,且AH=eq \f(2,3)HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.
[解] 依题意,OF⊥平面ABCD,如图,以O为原点,分别以eq \(AD,\s\up7(→)),eq \(BA,\s\up7(→)),eq \(OF,\s\up7(→))的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得O(0,0,0),A(-1,1,0),B(-1,-1,0),C(1,-1,0),D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(-1,0,0).
(1)证明:依题意,eq \(AD,\s\up7(→))=(2,0,0),eq \(AF,\s\up7(→))=(1,-1,2).
设n1=(x,y,z)为平面ADF的法向量,则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(AD,\s\up7(→))=0,,n1·\(AF,\s\up7(→))=0,))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x=0,,x-y+2z=0.))
不妨设z=1,可得n1=(0,2,1).
又eq \(EG,\s\up7(→))=(0,1,-2),所以eq \(EG,\s\up7(→))·n1=0.
又因为直线EG⊄平面ADF,
所以EG∥平面ADF.
(2)易证,eq \(OA,\s\up7(→))=(-1,1,0)为平面OEF的一个法向量.
依题意,eq \(EF,\s\up7(→))=(1,1,0),eq \(CF,\s\up7(→))=(-1,1,2).
设n2=(x′,y′,z′)为平面CEF的法向量,
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·\(EF,\s\up7(→))=0,,n2·\(CF,\s\up7(→))=0,))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′+y′=0,,-x′+y′+2z′=0.))
不妨设x′=1,可得n2=(1,-1,1).
因此cs〈eq \(OA,\s\up7(→)),n2〉=eq \f(\(OA,\s\up7(→))·n2,|\(OA,\s\up7(→))||n2|)=-eq \f(\r(6),3),
于是sin〈eq \(OA,\s\up7(→)),n2〉=eq \f(\r(3),3).
所以,二面角OEFC的正弦值为eq \f(\r(3),3).
(3)由AH=eq \f(2,3)HF,得AH=eq \f(2,5)AF.
因为eq \(AF,\s\up7(→))=(1,-1,2),
所以eq \(AH,\s\up7(→))=eq \f(2,5)eq \(AF,\s\up7(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5),-\f(2,5),\f(4,5))),
进而有Heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,5),\f(3,5),\f(4,5))),
从而eq \(BH,\s\up7(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5),\f(8,5),\f(4,5))),
因此cs〈eq \(BH,\s\up7(→)),n2〉=eq \f(\(BH,\s\up7(→))·n2,|\(BH,\s\up7(→))||n2|)=-eq \f(\r(7),21).
所以,直线BH和平面CEF所成角的正弦值为eq \f(\r(7),21).
用向量法求空间角的注意点
(1)异面直线所成角:两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°,需找到两异面直线的方向向量,借助方向向量所成角求解.
(2)直线与平面所成的角:要求直线a与平面α所成的角θ,先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cs〈n,a〉,易知θ=〈n,a〉-eq \f(π,2)或者eq \f(π,2)-〈n,a〉.
(3)二面角:如图,有两个平面α与β,分别作这两个平面的法向量n1与n2,则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补,所以首先应判断二面角是锐角还是钝角.
eq \O([跟进训练])
4.在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O′的直径,FB是圆台的一条母线.
(1)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:GH∥平面ABC.
(2)已知EF=FB=eq \f(1,2)AC=2eq \r(3),AB=BC,求二面角FBCA的余弦值.
[解] (1)证明:设CF的中点为I,连接GI,HI.
在△CEF中,因为点G,I分别是CE,CF的中点,
所以GI∥EF.
又EF∥OB,所以GI∥OB.
在△CFB中,因为H,I分别是FB,CF的中点,
所以HI∥BC.
又HI∩GI=I,BC∩OB=B,
所以平面GHI∥平面ABC.
因为GH⊂平面GHI,
所以GH∥平面ABC.
(2)连接OO′,则OO′⊥平面ABC.
又AB=BC,且AC是圆O的直径,
所以BO⊥AC.
以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意得B(0,2eq \r(3),0),C(-2eq \r(3),0,0).
过点F作FM⊥OB于点M,
所以FM=eq \r(FB2-BM2)=3,
可得F(0,eq \r(3),3).
故eq \(BC,\s\up7(→))=(-2eq \r(3),-2eq \r(3),0),eq \(BF,\s\up7(→))=(0,-eq \r(3),3).
设m=(x,y,z)是平面BCF的法向量.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(BC,\s\up7(→))=0,,m·\(BF,\s\up7(→))=0))可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-2\r(3)x-2\r(3)y=0,,-\r(3)y+3z=0.))
可得平面BCF的一个法向量m=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-1,1,\f(\r(3),3))).
因为平面ABC的一个法向量n=(0,0,1),
所以cs〈m,n〉=eq \f(m·n,|m|·|n|)=eq \f(\r(7),7),
所以二面角FBCA的余弦值为eq \f(\r(7),7).
【例5】 如图,已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.
(1)求点D到平面PEF的距离;
(2)求直线AC到平面PEF的距离.
[解] (1)建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),
P(0,0,1),A(1,0,0),
C(0,1,0),Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(1,2),0)),
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1,0)).
eq \(PE,\s\up7(→))=1,eq \f(1,2),-1,eq \(PF,\s\up7(→))=eq \f(1,2),1,-1,eq \(DE,\s\up7(→))=1,eq \f(1,2),0.
令平面PEF的法向量为n=(x,y,z),
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n⊥\(PE,\s\up7(→))=0,,n⊥\(PF,\s\up7(→))=0,))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+\f(1,2)y-z=0,,\f(1,2)x+y-z=0,))令x=2,
则y=2,z=3,∴n=(2,2,3),∴点D到平面PEF的距离为eq \f(|\(DE,\s\up7(→))·n|,|n|)=eq \f(|2+1+0|,\r(4+4+9))=eq \f(3\r(17),17).
(2)连接AC,则AC∥EF,直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离,
由(1)得平面PEF的一个法向量为n=(2,2,3),
则所求距离为eq \f(|\(AE,\s\up7(→))·n|,|n|)=eq \f(1,\r(17))=eq \f(\r(17),17).
即直线AC到平面PEF的距离为eq \f(\r(17),17).
用向量法求点面距的步骤
(1)建系:建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求点坐标:写出(求出)相关点的坐标.
(3)求向量:求出相关向量的坐标.
(4)求法向量:设出平面法向量利用向量垂直的条件转化为求解方程组求出法向量.
(5)求距离d=eq \f(|\(AP,\s\up7(→))·n|,|n|).
eq \([跟进训练])
5.如图,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.
(1)求证:AB1⊥A1D;
(2)求点C到平面A1BD的距离.
[解] (1)证明:如图,取BC的中点O,连接AO.
∵△ABC为等边三角形,
∴AO⊥BC.
∵在正三棱柱ABCA1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,
∴AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1,以O为原点,eq \(OB,\s\up7(→)),eq \(OO1,\s\up7(→)),eq \(OA,\s\up7(→))的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,eq \r(3)),A(0,0,eq \r(3)),B1(1,2,0),
∴eq \(AB1,\s\up7(→))=(1,2,-eq \r(3)),eq \(A1D,\s\up7(→))=(-1,-1,-eq \r(3)).
∵eq \(AB1,\s\up7(→))·eq \(A1D,\s\up7(→))=-1-2+3=0,
∴eq \(AB1,\s\up7(→))⊥eq \(A1D,\s\up7(→)),∴AB1⊥A1D.
(2)设平面A1BD的法向量n=(x,y,z).
eq \(A1D,\s\up7(→))=(-1,-1,-eq \r(3)),eq \(BD,\s\up7(→))=(-2,1,0).
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(A1D,\s\up7(→))=0,,n·\(BD,\s\up7(→))=0,))
∴eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(-x-y-\r(3)z=0,,-2x+y=0,))
∴eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=2x,,z=-\r(3)x.))
令x=1,得n=(1,2,-eq \r(3)).
∵C(-1,0,0),∴eq \(BC,\s\up7(→))=(-2,0,0),
∴点C到平面A1BD的距离d=eq \f(|\(BC,\s\up7(→))·n|,|n|)=eq \f(|-2|,2\r(2))=eq \f(\r(2),2).
空间向量的基本概念及运算
空间向量的坐标运算
利用空间向量证明平行、垂直问题
利用空间向量求空间角
利用空间向量求距离
人教版新课标A选修2-12.2椭圆学案: 这是一份人教版新课标A选修2-12.2椭圆学案,共11页。
数学选修2-13.1空间向量及其运算导学案: 这是一份数学选修2-13.1空间向量及其运算导学案,共13页。
高中人教版新课标A3.1空间向量及其运算学案设计: 这是一份高中人教版新课标A3.1空间向量及其运算学案设计,共11页。