2020-2021学年第三章空间向量与立体几何综合与测试导学案

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这是一份2020-2021学年第三章空间向量与立体几何综合与测试导学案，共14页。

[提升层·题型探究]
【例1】 (1)已知|a|＝3eq \r(2)，|b|＝4，a与b的夹角为135°，m＝a＋b，n＝a＋λb．若m⊥n，则λ＝( )
A．eq \f(2,3) B．－eq \f(2,3)
C．eq \f(3,2) D．－eq \f(3,2)
(2)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2．给出以下结论：
①eq \(SA,\s\up7(→))＋eq \(SB,\s\up7(→))＋eq \(SC,\s\up7(→))＋eq \(SD,\s\up7(→))＝0；
②eq \(SA,\s\up7(→))＋eq \(SB,\s\up7(→))－eq \(SC,\s\up7(→))－eq \(SD,\s\up7(→))＝0；
③eq \(SA,\s\up7(→))－eq \(SB,\s\up7(→))＋eq \(SC,\s\up7(→))－eq \(SD,\s\up7(→))＝0；
④eq \(SA,\s\up7(→))·eq \(SB,\s\up7(→))＝eq \(SC,\s\up7(→))·eq \(SD,\s\up7(→))；
⑤eq \(SA,\s\up7(→))·eq \(SC,\s\up7(→))＝0．
其中正确结论的序号是________．
(1)D (2)③④ [(1)由题意知，m·n＝(a＋b)·(a＋λb)
＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2
＝18＋λ×3eq \r(2)×4×cs 135°＋3eq \r(2)×4×cs 135°＋λ×16＝6＋4λ．
因为m⊥n，所以6＋4λ＝0，所以λ＝－eq \f(3,2)．
(2)容易推出eq \(SA,\s\up7(→))－eq \(SB,\s\up7(→))＋eq \(SC,\s\up7(→))－eq \(SD,\s\up7(→))＝eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \(DC,\s\up7(→))＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以eq \(SA,\s\up7(→))·eq \(SB,\s\up7(→))＝2·2·cs∠ASB，eq \(SC,\s\up7(→))·eq \(SD,\s\up7(→))＝2·2·cs∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是eq \(SA,\s\up7(→))·eq \(SB,\s\up7(→))＝eq \(SC,\s\up7(→))·eq \(SD,\s\up7(→))，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④．]
1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．
2．空间向量的数量积
(1)空间向量的数量积的定义表达式a·b＝|a|·|b|·cs〈a，b〉及其变式cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a| ·|b|)是两个重要公式．
(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a2＝|a|2，a在b上的投影eq \f(a·b,|b|)＝|a|·cs θ等．
eq \O([跟进训练])
1．已知P是正六边形ABCDEF外一点，O是正六边形ABCDEF的中心，则eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(PB,\s\up7(→))＋eq \(PC,\s\up7(→))＋eq \(PD,\s\up7(→))＋eq \(PE,\s\up7(→))＋eq \(PF,\s\up7(→))等于( )
A．eq \(PO,\s\up7(→)) B．3eq \(PO,\s\up7(→))
C．6eq \(PO,\s\up7(→)) D．0
C [∵O是正六边形ABCDEF的中心，
∴O是对角线AD的中点，也是对角线BE的中点，
还是对角线CF的中点．
∴eq \(PO,\s\up7(→))＝eq \f(\(PA,\s\up7(→))＋\(PD,\s\up7(→)),2)，eq \(PO,\s\up7(→))＝eq \f(\(PE,\s\up7(→))＋\(PB,\s\up7(→)),2)，eq \(PO,\s\up7(→))＝eq \f(\(PC,\s\up7(→))＋\(PF,\s\up7(→)),2)，
∴eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(PB,\s\up7(→))＋eq \(PC,\s\up7(→))＋eq \(PD,\s\up7(→))＋eq \(PE,\s\up7(→))＋eq \(PF,\s\up7(→))＝6eq \(PO,\s\up7(→))，故选C．]
【例2】 (1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq \f(1,2)x－2a，则x＝( )
A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
(2)已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，a∥b，b⊥c．
①求向量a，b，c；
②求a＋c与b＋c所成角的余弦值．
(1)B [由b＝eq \f(1,2)x－2a得x＝4a＋2b，
又4a＋2b＝4(2,3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0,6，－20)，
所以x＝(0,6，－20)．]
(2)解：①∵向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x,1)＝\f(1,y)＝\f(2,－2),3＋y－2z＝0))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1，,z＝1，))
∴向量a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)．
②∵a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)，
∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，
|a＋c|＝eq \r(22＋22＋32)＝eq \r(17)，|b＋c|
＝eq \r(42＋02＋－12)＝eq \r(17)，
∴a＋c与b＋c所成角的余弦值为eq \f(a＋c·b＋c,|a＋c||b＋c|)＝eq \f(5,17)．
熟记空间向量的坐标运算公式,设a＝x1，y1，z1，b＝x2，y2，z2，
1加减运算：a±b＝x1±x2，y1±y2，z1±z2.
2数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
3向量夹角：cs〈a，b〉＝.
4向量长度：设M1x1，y1，z1，M2x2，y2，z2，,则.
提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算.
eq \O([跟进训练])
2．在空间直角坐标系中，已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
C [∵eq \(AB,\s\up7(→))＝(3,4，－8)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(5,1，－7)，eq \(BC,\s\up7(→))＝(2，－3,1)，∴|eq \(AB,\s\up7(→))|＝eq \r(32＋42＋－82)＝eq \r(89)，|eq \(AC,\s\up7(→))|＝eq \r(52＋12＋－72)＝eq \r(75)，|eq \(BC,\s\up7(→))|＝eq \r(22＋－32＋1)＝eq \r(14)，∴|eq \(AC,\s\up7(→))|2＋|eq \(BC,\s\up7(→))|2＝|eq \(AB,\s\up7(→))|2，∴△ABC一定为直角三角形．]
【例3】在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PB，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2．
求证：(1)EF∥平面ABD；
(2)平面PAD⊥平面PDC．
[证明] (1)以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．因为点E，F分别是PB，PD的中点，所以Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq \(FE,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1，0))，eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，2，0))，eq \(FE,\s\up7(→))＝－eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up7(→))，
即EF∥BD，又BD⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，
所以EF∥平面ABD．
(2)由(1)可知eq \(PB,\s\up7(→))＝(1,0，－1)，eq \(PD,\s\up7(→))＝(0,2，－1)，eq \(AP,\s\up7(→))＝(0,0,1)，eq \(AD,\s\up7(→))＝(0,2,0)，eq \(DC,\s\up7(→))＝(1,0,0)，
因为eq \(AP,\s\up7(→))·eq \(DC,\s\up7(→))＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，eq \(AD,\s\up7(→))·eq \(DC,\s\up7(→))＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，
所以eq \(AP,\s\up7(→))⊥eq \(DC,\s\up7(→))，eq \(AD,\s\up7(→))⊥eq \(DC,\s\up7(→))，即AP⊥DC，AD⊥DC．
又AP∩AD＝A，
所以DC⊥平面PAD．
因为DC⊂平面PDC，
所以平面PAD⊥平面PDC．
利用空间向量证明空间中的位置关系
1线线平行：
证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量.
2线线垂直：
证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直.
3线面平行：
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；
③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示.
4线面垂直：
①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；
②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.
5面面平行：
①证明两个平面的法向量平行即是共线向量；
②转化为线面平行、线线平行问题.
6面面垂直：
①证明两个平面的法向量互相垂直；
②转化为线面垂直、线线垂直问题.
eq \O([跟进训练])
3．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．
求证：(1)BM∥平面ADEF；
(2)BC⊥平面BDE．
[证明] ∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，∴ED⊥平面ABCD．
以D为原点，eq \(DA,\s\up7(→))，eq \(DC,\s\up7(→))，eq \(DE,\s\up7(→))分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系．
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(2,0,2)．
(1)∵M为EC的中点，∴M(0,2,1)，
则eq \(BM,\s\up7(→))＝(－2,0,1)，eq \(AD,\s\up7(→))＝(－2,0,0)，eq \(AF,\s\up7(→))＝(0,0,2)，
∴eq \(BM,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(AF,\s\up7(→))，故eq \(BM,\s\up7(→))，eq \(AD,\s\up7(→))，eq \(AF,\s\up7(→))共面．
又BM⊄平面ADEF，∴BM∥平面ADEF．
(2)eq \(BC,\s\up7(→))＝(－2,2,0)，eq \(DB,\s\up7(→))＝(2,2,0)，eq \(DE,\s\up7(→))＝(0,0,2)，
∵eq \(BC,\s\up7(→))·eq \(DB,\s\up7(→))＝－4＋4＝0，∴BC⊥DB．
又eq \(BC,\s\up7(→))·eq \(DE,\s\up7(→))＝0，∴BC⊥DE．
又DE∩DB＝D，∴BC⊥平面BDE．
【例4】如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2．
(1)求证：EG∥平面ADF；
(2)求二面角OEFC的正弦值；
(3)设H为线段AF上的点，且AH＝eq \f(2,3)HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．
[解] 依题意，OF⊥平面ABCD，如图，以O为原点，分别以eq \(AD,\s\up7(→))，eq \(BA,\s\up7(→))，eq \(OF,\s\up7(→))的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0，0,0)，A(－1,1,0)，B(－1，－1,0)，C(1，－1,0)，D(1,1,0)，E(－1，－1,2)，F(0，0,2)，G(－1,0,0)．
(1)证明：依题意，eq \(AD,\s\up7(→))＝(2,0,0)，eq \(AF,\s\up7(→))＝(1，－1,2)．
设n1＝(x，y，z)为平面ADF的法向量，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(AD,\s\up7(→))＝0，,n1·\(AF,\s\up7(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＝0，,x－y＋2z＝0.))
不妨设z＝1，可得n1＝(0,2,1)．
又eq \(EG,\s\up7(→))＝(0,1，－2)，所以eq \(EG,\s\up7(→))·n1＝0．
又因为直线EG⊄平面ADF，
所以EG∥平面ADF．
(2)易证，eq \(OA,\s\up7(→))＝(－1,1,0)为平面OEF的一个法向量．
依题意，eq \(EF,\s\up7(→))＝(1,1,0)，eq \(CF,\s\up7(→))＝(－1,1,2)．
设n2＝(x′，y′，z′)为平面CEF的法向量，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·\(EF,\s\up7(→))＝0，,n2·\(CF,\s\up7(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＋y′＝0，,－x′＋y′＋2z′＝0.))
不妨设x′＝1，可得n2＝(1，－1,1)．
因此cs〈eq \(OA,\s\up7(→))，n2〉＝eq \f(\(OA,\s\up7(→))·n2,|\(OA,\s\up7(→))||n2|)＝－eq \f(\r(6),3)，
于是sin〈eq \(OA,\s\up7(→))，n2〉＝eq \f(\r(3),3)．
所以，二面角OEFC的正弦值为eq \f(\r(3),3)．
(3)由AH＝eq \f(2,3)HF，得AH＝eq \f(2,5)AF．
因为eq \(AF,\s\up7(→))＝(1，－1,2)，
所以eq \(AH,\s\up7(→))＝eq \f(2,5)eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，－\f(2,5)，\f(4,5)))，
进而有Heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(3,5)，\f(4,5)))，
从而eq \(BH,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(8,5)，\f(4,5)))，
因此cs〈eq \(BH,\s\up7(→))，n2〉＝eq \f(\(BH,\s\up7(→))·n2,|\(BH,\s\up7(→))||n2|)＝－eq \f(\r(7),21)．
所以，直线BH和平面CEF所成角的正弦值为eq \f(\r(7),21)．
用向量法求空间角的注意点
(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．
(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cs〈n，a〉，易知θ＝〈n，a〉－eq \f(π,2)或者eq \f(π,2)－〈n，a〉．
(3)二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角．
eq \O([跟进训练])
4．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．
(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC．
(2)已知EF＝FB＝eq \f(1,2)AC＝2eq \r(3)，AB＝BC，求二面角FBCA的余弦值．
[解] (1)证明：设CF的中点为I，连接GI，HI．
在△CEF中，因为点G，I分别是CE，CF的中点，
所以GI∥EF．
又EF∥OB，所以GI∥OB．
在△CFB中，因为H，I分别是FB，CF的中点，
所以HI∥BC．
又HI∩GI＝I，BC∩OB＝B，
所以平面GHI∥平面ABC．
因为GH⊂平面GHI，
所以GH∥平面ABC．
(2)连接OO′，则OO′⊥平面ABC．
又AB＝BC，且AC是圆O的直径，
所以BO⊥AC．
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得B(0,2eq \r(3)，0)，C(－2eq \r(3)，0,0)．
过点F作FM⊥OB于点M，
所以FM＝eq \r(FB2－BM2)＝3，
可得F(0，eq \r(3)，3)．
故eq \(BC,\s\up7(→))＝(－2eq \r(3)，－2eq \r(3)，0)，eq \(BF,\s\up7(→))＝(0，－eq \r(3)，3)．
设m＝(x，y，z)是平面BCF的法向量．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(BC,\s\up7(→))＝0，,m·\(BF,\s\up7(→))＝0))可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2\r(3)x－2\r(3)y＝0，,－\r(3)y＋3z＝0.))
可得平面BCF的一个法向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，1，\f(\r(3),3)))．
因为平面ABC的一个法向量n＝(0,0,1)，
所以cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m|·|n|)＝eq \f(\r(7),7)，
所以二面角FBCA的余弦值为eq \f(\r(7),7)．
【例5】如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
[解] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，
P(0,0,1)，A(1,0,0)，
C(0,1,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，0))，
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，0))．
eq \(PE,\s\up7(→))＝1，eq \f(1,2)，－1，eq \(PF,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)，1，－1，eq \(DE,\s\up7(→))＝1，eq \f(1,2)，0．
令平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n⊥\(PE,\s\up7(→))＝0，,n⊥\(PF,\s\up7(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)y－z＝0，,\f(1,2)x＋y－z＝0，))令x＝2，
则y＝2，z＝3，∴n＝(2,2,3)，∴点D到平面PEF的距离为eq \f(|\(DE,\s\up7(→))·n|,|n|)＝eq \f(|2＋1＋0|,\r(4＋4＋9))＝eq \f(3\r(17),17)．
(2)连接AC，则AC∥EF，直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，
由(1)得平面PEF的一个法向量为n＝(2,2,3)，
则所求距离为eq \f(|\(AE,\s\up7(→))·n|,|n|)＝eq \f(1,\r(17))＝eq \f(\r(17),17)．
即直线AC到平面PEF的距离为eq \f(\r(17),17)．
用向量法求点面距的步骤
(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．
(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．
(3)求向量：求出相关向量的坐标．
(4)求法向量：设出平面法向量利用向量垂直的条件转化为求解方程组求出法向量．
(5)求距离d＝eq \f(|\(AP,\s\up7(→))·n|,|n|)．
eq \([跟进训练])
5．如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
(1)求证：AB1⊥A1D；
(2)求点C到平面A1BD的距离．
[解] (1)证明：如图，取BC的中点O，连接AO．
∵△ABC为等边三角形，
∴AO⊥BC．
∵在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
∴AO⊥平面BCC1B1．
取B1C1的中点O1，以O为原点，eq \(OB,\s\up7(→))，eq \(OO1,\s\up7(→))，eq \(OA,\s\up7(→))的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，eq \r(3))，A(0,0，eq \r(3))，B1(1,2,0)，
∴eq \(AB1,\s\up7(→))＝(1,2，－eq \r(3))，eq \(A1D,\s\up7(→))＝(－1，－1，－eq \r(3))．
∵eq \(AB1,\s\up7(→))·eq \(A1D,\s\up7(→))＝－1－2＋3＝0，
∴eq \(AB1,\s\up7(→))⊥eq \(A1D,\s\up7(→))，∴AB1⊥A1D．
(2)设平面A1BD的法向量n＝(x，y，z)．
eq \(A1D,\s\up7(→))＝(－1，－1，－eq \r(3))，eq \(BD,\s\up7(→))＝(－2,1,0)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(A1D,\s\up7(→))＝0，,n·\(BD,\s\up7(→))＝0，))
∴eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－y－\r(3)z＝0，,－2x＋y＝0，))
∴eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x，,z＝－\r(3)x.))
令x＝1，得n＝(1,2，－eq \r(3))．
∵C(－1,0,0)，∴eq \(BC,\s\up7(→))＝(－2,0,0)，
∴点C到平面A1BD的距离d＝eq \f(|\(BC,\s\up7(→))·n|,|n|)＝eq \f(|－2|,2\r(2))＝eq \f(\r(2),2)．
空间向量的基本概念及运算
空间向量的坐标运算
利用空间向量证明平行、垂直问题
利用空间向量求空间角
利用空间向量求距离