高一初等函数-含答案练习题

这是一份高一初等函数-含答案练习题，共17页。试卷主要包含了函数f，设函数f，幂函数f，若幂函数在，函数y＝lg2，已知函数f，若函数f，已知函数，则＝等内容，欢迎下载使用。
高一初等函数
一．选择题（共13小题）
1．函数f（x）＝（）的值域是（　　）
A．（﹣∞，3] B．（﹣∞，3） C．（0，3） D．（0，3]
2．函数y＝4x+4﹣x+2x﹣2﹣x的最小值为（　　）
A． B．1 C．2 D．
3．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝3x﹣4x+a，则f（﹣1）＝（　　）
A．1 B． C． D．2
4．幂函数f（x）＝（m²﹣3m+3）x在（0，+∞）上单调递增，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．1或2
5．若幂函数在（0，+∞）上是减函数，则实数m的值是（　　）
A．﹣1或3 B．3 C．﹣1 D．0
6．函数y＝log2（﹣2x+1）的定义域为（　　）
A． B． C． D．
7．设函数f（x）＝，若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣1] C．（﹣∞，2] D．（﹣1，2]
8．已知函数f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝log2（x+1）+ax，且f（﹣3）＝a，则a＝（　　）
A． B． C．log23 D．2
9．若函数f（x）＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，1] B．（0，2] C．（0，） D．[1，）
10．已知函数，则＝（　　）
A．4040 B．4038 C．2 D．9
11．已知函数f（x）对任意x∈R，都有，当x∈[0，2]时，f（x）＝﹣x2+2x，则函数f（x）在[﹣2，6]上的值域为（　　）
A．[0，1] B．[﹣，0] C．[﹣2，0] D．[﹣2，4]
12．已知函数f（x）满足f（x）＝f（3x），当x∈[，1）时，f（x）＝ln3x，若在区间[，9）内，函数g（x）＝f（x）﹣ax右四个不同零点，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
13．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝[f（f（x））]2﹣（a+1）•f（f（x））+a（a∈R）恰有7个不同零点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．[﹣1，1]
C．（﹣1，1） D．（﹣1，0）∪（0，1）
二．填空题（共3小题）
14．函数f（x）＝的定义域为 　 　．
15．已知函数f（2x﹣1）的定义域为（﹣1，2），则函数f（2﹣3x）的定义域为 　 　．
16．若函数f（x）＝是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是 　 　．
三．解答题（共6小题）
17．已知f（x）＝（a≠0）．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）a＞0时，判断f（x）在[1，+∞）上的单调性并给出证明．
18．已知f（x）＝|x﹣a|+|x﹣2a|，g（x）＝x﹣，（a≠0，a∈R）．
（1）若a＝1，求f（x）的最小值；
（2）设0＜x1＜x2，|g（x1）|＝|g（x2）|，求证：x1x2＝|a|；
（3）若存在实数a≥1，使得不等式f（x）≤g（x）在区间（0，t）上恒成立，求实数t的最大值．
19．已知函数f（x）＝log2（）．
（1）当a＝3时，解不等式f（x）＞0；
（2）若关于x的方程f（）﹣log2[x2﹣（2a﹣1）x+3a﹣1]＝0在区间（﹣1，0）上恰有一个实数解，求a的取值范围；
（3）设a＞0，若存在t∈[]使得函数f（x）在区间[t，t+2]上的最大值和最小值的差不超过1，求a的取值范围．
20．设函数f（x）＝ax﹣a﹣x（x∈R，a＞0且a≠1）．
（1）若0＜a＜1，判断y＝f（x）的奇偶性和单调性；
（2）若f（1）＜0，求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立时实数t的取值范围；
（3）若，g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2mf（x）且g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．
21．已知函数．
（Ⅰ）用定义证明f（x）在（0，1）内单调递减；
（Ⅱ）证明f（x）存在两个不同的零点x1，x2，且x1+x2＞2．
22．已知函数，．
（Ⅰ）根据定义证明函数f（x）是减函数；
（Ⅱ）若存在两不相等的实数a，b，使f（a+1）+f（b+1）＝0，且g（a）+g（b）＝0，求实数m的取值范围．

参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．函数f（x）＝（）的值域是（　　）
A．（﹣∞，3] B．（﹣∞，3） C．（0，3） D．（0，3]
【解答】解：令t＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，则函数f（x）＝（）＝∈（0，），
即 f（x）∈（0，3），
故选：D．
2．函数y＝4x+4﹣x+2x﹣2﹣x的最小值为（　　）
A． B．1 C．2 D．
【解答】解：令2x﹣2﹣x＝t（t∈R），则t2＝4x+4﹣x﹣2，
故原函数化为，
当时，可得最小值为．
故选：D．
3．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝3x﹣4x+a，则f（﹣1）＝（　　）
A．1 B． C． D．2
【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，必有f（0）＝0，
当x≥0时，f（x）＝3x﹣4x+a，则有f（0）＝1+a＝0，即a＝﹣1，
则f（1）＝3﹣4﹣1＝﹣2，
又由f（x）为奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝2．
故选：D．
4．幂函数f（x）＝（m²﹣3m+3）x在（0，+∞）上单调递增，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．1或2
【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m²﹣3m+3）x在（0，+∞）上单调递增，
∴m²﹣3m+3＝1，且m2﹣6m+6＞0，求得m＝1，
故选：A．
5．若幂函数在（0，+∞）上是减函数，则实数m的值是（　　）
A．﹣1或3 B．3 C．﹣1 D．0
【解答】解：∵幂函数在（0，+∞）上是减函数，
∴m2﹣2m﹣2＝1，且﹣m2+m+3＜0，求得m＝3，
故选：B．
6．函数y＝log2（﹣2x+1）的定义域为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：要使原函数有意义，则﹣2x+1＞0，解得，
∴原函数的定义域为：．
故选：D．
7．设函数f（x）＝，若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣1] C．（﹣∞，2] D．（﹣1，2]
【解答】解：因为f（x）＝，
作出函数g（x）＝与x3﹣3x直线h（x）＝﹣2x的图象，
它们的交点时A（﹣1，2），O（0，0），B（1，﹣2），
由g'（x）＝3x2﹣3，则令g'（x）＝0，可得x＝﹣1或x＝1，
当x＜﹣1或x＞1时，g'（x）＞0，则g（x）单调递增，
当﹣1＜x＜1时，g'（x）＜0，则g（x）单调递减，
所以x＝﹣1是g（x）的极大值点，x＝1是g（x）的极小值点，
由图象可知，当a≥﹣1时，f（x）有最大值f（﹣1）＝2，
当a＜﹣1时，有a3﹣3a＜﹣2a，此时f（x）无最大值，
故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．
故选：A．

8．已知函数f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝log2（x+1）+ax，且f（﹣3）＝a，则a＝（　　）
A． B． C．log23 D．2
【解答】解：根据题意，函数f（x）为奇函数，且f（﹣3）＝a，则f（3）＝﹣f（﹣3）＝﹣a，
又由当x＞0时，f（x）＝log2（x+1）+ax，则f（3）＝log24+3a＝﹣a，
即2+3a＝﹣a，解可得a＝﹣，
故选：B．
9．若函数f（x）＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，1] B．（0，2] C．（0，） D．[1，）
【解答】解：因为f（x）＝在R上单调递增，
所以，
解得0＜a≤1．
故选：A．
10．已知函数，则＝（　　）
A．4040 B．4038 C．2 D．9
【解答】解：根据题意，函数，
f（﹣x）＝+sin（﹣x）＝﹣sinx，
则f（x）+f（﹣x）＝（+sinx）+（﹣sinx）＝2，
故
＝f（ln2）+f（﹣ln2）+f（ln3）+f（﹣ln3）+⋅⋅⋅+f（ln2020）+f（﹣ln2020）
＝2019×2＝4038，
故选：B．
11．已知函数f（x）对任意x∈R，都有，当x∈[0，2]时，f（x）＝﹣x2+2x，则函数f（x）在[﹣2，6]上的值域为（　　）
A．[0，1] B．[﹣，0] C．[﹣2，0] D．[﹣2，4]
【解答】解：当x∈[0，2]时，f（x）＝x（2﹣x）＝1﹣（x﹣1）2∈[0，1]，
则当x∈[﹣2，0]时，即x+2∈[0，2]，所以；
当x∈[2，4]时，即x﹣2∈[0，2]，
由，得f（x+2）＝﹣2f（x），从而f（x）＝﹣2f（x﹣2）∈[﹣2，0]；
当x∈[4，6]时，即x﹣2∈[2，4]，则f（x）＝﹣2f（x﹣2）∈[0，4]．
综上得函数f（x）在[﹣2，6]上的值域为[﹣2，4]．
故选：D．
12．已知函数f（x）满足f（x）＝f（3x），当x∈[，1）时，f（x）＝ln3x，若在区间[，9）内，函数g（x）＝f（x）﹣ax右四个不同零点，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：当x∈[，1）时，f（x）＝ln3x，f（x）＝f（3x），
∴f（x）＝f（x），∴x∈[1，3）时，f（x）＝f（x）＝lnx，
x∈[3,9)时，f(x)＝f(x)＝ln,
故f（x）＝，
函数g（x）＝f（x）﹣ax右四个不同零点，
即y＝f（x）和y＝ax的图像有4个不同交点，
可得直线y＝ax在图中两条虚线之间，如图示：

其中一条虚线是OA，A（9，ln3），则KOA＝，
其中一条OB是过原点与f（x）＝ln相切的直线，
设切点B为（x0，ln），
f′（x）＝（ln）′＝•＝，KOB＝，又KOB＝，
∴＝，解得：x0＝3e，∴KOB＝，
∴＜a＜，
故选：B．
13．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝[f（f（x））]2﹣（a+1）•f（f（x））+a（a∈R）恰有7个不同零点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．[﹣1，1]
C．（﹣1，1） D．（﹣1，0）∪（0，1）
【解答】解：由g（x）＝[f（f（x））]2﹣（a+1）•f（f（x））+a＝0，可得[f（f（x））﹣1][f（f（x）﹣a]＝0，
则f（f（x））＝1或f（f（x））＝a，
作出f（x）的图象如图所示，
则若f（x）＝1，则x＝0或x＝，
设t＝f（x），由f（f（x））＝1得f（t）＝1，
此时t＝0或t＝，
当t＝0时，f（x）＝t＝0，有两个根，
当t＝时，f（x）＝t＝，有1个根，
则必须有f（f（x））＝a（a≠1）有4个根，
设t＝f（x），由f（f（x））＝a，可得f（t）＝a，
若a＝0，由f（t）＝a＝0，可得t＝﹣1或t＝﹣2，
因为f（x）＝﹣1有2个根，f（x）＝2有1个根，此时有3个根，不满足条件；
若a＞1，由f（t）＝a，可得t＞，因为f（x）＝t有1个根，不满足条件；
若0＜a＜1，由f（t）＝a，可得﹣1＜t1＜0或2＜t2＜，
当﹣1＜t1＜0时，f（x）＝t1有3个根，
当2＜t2＜时，f（x）＝t2有1个根，此时有3+1＝4个根，满足条件；
若a＝﹣1，由f（t）＝a，可得或t2＝1，
当f（x）＝有1个根，当f（x）＝1时有2个根，此时有3个根，不满足条件；
若﹣1＜a＜0，由f（t）＝a，可得或0＜t2＜1或1＜t3＜2，
当时，f（x）＝t1有1个根，
当0＜t2＜1时，f（x）＝t2有2个根，
当1＜t3＜2时，f（x）＝t3有1个根，
此时有1+2+1＝4个根，满足条件；
若a＜﹣1时，由f（t）＝a，可得，当f（x）＝t时有1个根，不满足题意；
综上所述，a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．
故选：D．

二．填空题（共3小题）
14．函数f（x）＝的定义域为 　[1，+∞）　．
【解答】解：要使f（x）有意义，则log2（3x﹣2）≥0，
∴3x﹣2≥1，解得x≥1，
∴f（x）的定义域为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
15．已知函数f（2x﹣1）的定义域为（﹣1，2），则函数f（2﹣3x）的定义域为 　（﹣，）　．
【解答】解：函数f（2x﹣1）的定义域为（﹣1，2），故﹣3＜2x﹣1＜3，
∴对于函数f（2﹣3x），﹣3＜2﹣3x＜3，求得﹣＜x＜，
故对于函数f（2﹣3x），它的定义域为（﹣，），
故答案为：（﹣，），
16．若函数f（x）＝是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是 　[，）　．
【解答】解：函数f（x）＝是R上的单调递减函数，
所以，
解得，
即≤a＜，
所以实数a的取值范围是[，）．
故答案为：[，）．
三．解答题（共6小题）
17．已知f（x）＝（a≠0）．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）a＞0时，判断f（x）在[1，+∞）上的单调性并给出证明．
【解答】解：（I）f（x）的定义域为R，
又f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），
故f（x）是奇函数．
（II）设任意1≤x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，
因为a＞0，1≤x1＜x2，所以x2﹣x1＞0，x1x2﹣1＞0，
而＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在[1，+∞）上是减函数．
18．已知f（x）＝|x﹣a|+|x﹣2a|，g（x）＝x﹣，（a≠0，a∈R）．
（1）若a＝1，求f（x）的最小值；
（2）设0＜x1＜x2，|g（x1）|＝|g（x2）|，求证：x1x2＝|a|；
（3）若存在实数a≥1，使得不等式f（x）≤g（x）在区间（0，t）上恒成立，求实数t的最大值．
【解答】（1）解：当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|≥x﹣1+2﹣x＝1，
所以f（x）的最小值为1；
（2）证明：当a＞0时，g（x）＝x+＞0，
不妨设|g（x1）|＝|g（x2）|＝k，则，g（x1）＝g（x2）＝k，
所以，则x1，x2是方程x+＝k的两个根，即x2﹣kx+a＝0的两个根，
由韦达定理可得，x1x2＝a＝|a|；
当a＜0时，不妨设|g（x1）|＝|g（x2）|＝k，则﹣g（x1）＝g（x2）＝k＞0，且，
所以，即，
解得，
故，
所以x1x2＝|a|；
（3）解：因为f（x）≤g（x），则h（x）＝f（x）﹣g（x）≤0，
故，
当0＜x＜a时，，解得，
当a≤x≤2a时，h（x）max＝h（a）＝﹣a≤0恒成立；
当x＞2a时，（t＞2a），
则t2﹣3at﹣a≤0，解得，
又因为，
则，
故实数t的最大值为．
19．已知函数f（x）＝log2（）．
（1）当a＝3时，解不等式f（x）＞0；
（2）若关于x的方程f（）﹣log2[x2﹣（2a﹣1）x+3a﹣1]＝0在区间（﹣1，0）上恰有一个实数解，求a的取值范围；
（3）设a＞0，若存在t∈[]使得函数f（x）在区间[t，t+2]上的最大值和最小值的差不超过1，求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝3时，f（x）＝，f（x）＞0，
即＞0，＞1，＞0，与x（2x+1）＞0同解，
得x∈∪（0，+∞）；
（2）由题意：关于x的方程＝0在区间（﹣1，0）上恰有一个实数解，
则x+a＝x2﹣（2a﹣1）x+3a﹣1＞0，
所以x2﹣2ax+2a﹣1＝0，可得（x﹣1）[x﹣（2a﹣1）]＝0在区间（﹣1，0）上恰有一个实数解，
即﹣1＜2a﹣1＜0，解得：0＜a＜，且2a﹣1+a＞0，即a＞，
综上所述：a∈（）；
（3）由题：a＞0，t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+2]上单调递减，
最大值和最小值的差不超过1，即f（t）﹣f（t+2）≤1，﹣≤1，
≤+1＝，
∴，
即存在t∈[，1]使a≥成立，只需a≥ 即可，
考虑函数y＝，t∈[，1]，y＝，t∈[，1]，
令r＝2﹣t∈，y＝＝，
根据对勾函数性质 y＝r+﹣6在r∈（0，）单调递减，
所以 y＝r+﹣6在r∈，单调递减，y＝r+﹣6∈[]
故∈，即a≥，
所以a∈（，+∞）．
20．设函数f（x）＝ax﹣a﹣x（x∈R，a＞0且a≠1）．
（1）若0＜a＜1，判断y＝f（x）的奇偶性和单调性；
（2）若f（1）＜0，求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立时实数t的取值范围；
（3）若，g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2mf（x）且g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．
【解答】解：（1）f（x）的定义域为R，关于原点对称，且f（﹣x）＝a﹣x﹣ax＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，
∵0＜a＜1，∴y＝ax递减，y＝﹣a﹣x递减，
故f（x）是减函数；
（2）f（ x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）．
∵f（1）＜0，∴a﹣＜0，
又a＞0，且a≠1，
∴0＜a＜1，
故f（x）在R上单调递减，
不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4），
∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，
∴△＝（t﹣1）2﹣16＜0，
解得﹣3＜t＜5；
（3）∵f（1）＝，∴a﹣＝，即2a2﹣3a﹣2＝0，
解得a＝2或a＝﹣（舍去），
∴g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2mf（x）＝（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2，
令t＝f（x）＝2x﹣2﹣x，由（1）可知f（x）＝2x﹣2﹣x为增函数，
∵x≥1，∴t≥f（1）＝，
令h（t）＝t2﹣2mt+2＝（t﹣m）2+2﹣m2（t≥），
若m≥，当t＝m时，h（t）min＝2﹣m2＝﹣2，∴m＝2；
若m＜时，当t＝时，h（t）min＝﹣2，解得m＝＞，无解；
综上，m＝2．
21．已知函数．
（Ⅰ）用定义证明f（x）在（0，1）内单调递减；
（Ⅱ）证明f（x）存在两个不同的零点x1，x2，且x1+x2＞2．
【解答】解：（Ⅰ）设0＜x1＜x2＜1，
则f（x1）﹣f（x2）＝﹣x1+﹣2﹣+x2﹣+2＝﹣+x2﹣x1+﹣＝（x1+x2）（x1﹣x2）+（x2﹣x1）+
＝（x2﹣x1）[1+﹣（x1+x2）]
∵0＜x1＜x2＜1，
∴x2﹣x1＞0，0＜x1x2＜1，0＜x1+x2＜2，＞1，
则1+﹣（x1+x2）＞0，
即f（x1）﹣f（x2）＞0，得f（x1）＞f（x2），即f（x）在（0，1）内单调递减．
（Ⅱ）证明：同理可知当x＞1时，f（x）在（1，+∞）上为增函数，
f（1）＝1﹣1+1﹣2＝﹣1＜0，
f（）＝﹣+2﹣2＝﹣，f（）＝﹣+﹣2＝﹣，
f（2）＝4﹣2+2＝，
必有一个根x1∈（，1），另外一个根x2∈（，2），
则x1+x2＞＝2．
22．已知函数，．
（Ⅰ）根据定义证明函数f（x）是减函数；
（Ⅱ）若存在两不相等的实数a，b，使f（a+1）+f（b+1）＝0，且g（a）+g（b）＝0，求实数m的取值范围．
【解答】（Ⅰ）证明：令，解得0＜x＜2，故函数f（x）的定义域为（0，2），
设0＜x1＜x2＜2，
则，
因为0＜x1＜x2＜2，
所以0＜2x1＜2x2＜4，
则0＜2x1﹣x1x2＜2x2﹣x1x2，
故，
则，
故f（x1）﹣f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在（0，2）上是减函数；
（Ⅱ）解：f（a+1）+f（b+1）＝0，即，
所以，
展开整理可得a+b＝0，
因为＝，
令t＝2x＞0，
则，
令，
因为g（a）+g（b）＝0，
所以φ（t1）+φ（t2）＝0，
因为a+b＝0，所以，
则φ（t1）+φ（t2）＝，
即，
因为a+1∈（0，2），b+1∈（0，2），
所以a∈（﹣1，1），b∈（﹣1，1），
故，，
令，
则有m（2μ﹣1）＝﹣μ2，
所以，
令，
则，
由对勾函数的性质可知，m在上单调递减，
故当时，m取得最大值，
所以m的取值范围为．
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