2021-9-6 初等函数综合题简练（含答案）

这是一份2021-9-6 初等函数综合题简练（含答案），共21页。试卷主要包含了已知函数y＝f+x，若f，，已知函数f，设函数f＝，已知函数，已知函数f＝lg x等内容，欢迎下载使用。

初等函数综合题精炼
一．选择题（共2小题）
1．设a＝log43，b＝log54，c＝2﹣0.01，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
2．设a＝log32，b＝log43，c＝，则（　　）
A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b
二．解答题（共18小题）
3．已知函数y＝f（x）是R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝（1﹣x）+x．
（1）求f（1）的值；
（2）求函数y＝f（x）的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；
（3）若f（lga）+2＜0，求实数a的取值范围．
4．若f（x）＝x2﹣x+b，且f（log2a）＝b，log2f（a）＝2（a＞0且a≠1），
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）求f（log2x）的最小值及相应x的值；
（Ⅲ）若f（log2x）＞f（1）且log2f（x）＜f（1），求x的取值范围．
5．已知函数f（x）＝（x2﹣2ax+3）．
（1）若函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（3，+∞），求实数a的值；
（2）若函数f（x）的定义域为R，值域为（﹣∞，﹣1]，求实数a的值；
（3）若函数f（x）在（﹣∞，1]上为增函数，求实数a的取值范围．
6．已知函数f（x）＝的图象关于原点对称，其中a为常数．
（1）求a的值；
（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）＝（x+k）在[2，3]上有解，求k的取值范围．
7．设函数f（x）＝ax﹣（k﹣1）a﹣x，（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数，且f（1）＝．
（1）求k，a的值；
（2）求函数f（x）在[1，+∞）上的值域；
（3）设g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2m•f（x），若g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值；
（4）对于（3）中函数g（x），如果g（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，求m的取值范围．
8．已知函数（k∈R），且满足f（﹣1）＝f（1）．
（1）求k的值；
（2）若函数y＝f（x）的图象与直线没有交点，求a的取值范围；
（3）若函数，x∈[0，log23]，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
9．集合A是由满足以下性质的函数f（x）构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数x1，x2，都有．
（1）若f（x）∈A，同时g（x）∈A，求证：f（x）+g（x）∈A．
（2）试判断f（x）＝lgx是否在集合A中，并说明理由．
（3）设f（x）∈A且定义域为（0，+∞），值域为（1，2），，试求出一个满足以上条件的函数f（x）的解析式．
10．已知函数f（x）＝lg ，f（1）＝0，当x＞0时，恒有f（x）﹣f （）＝lg x．
（1）若不等式f（x）≤lg t的解集为A，且A⊆（0，4]，求实数t的取值范围；
（3）若方程f（x）＝lg（8x+m）的解集为∅，求实数m的取值范围．
11．已知f（x）＝lg（a•4x﹣3•2x+2），a∈R．
（1）若a＝1，求函数y＝f（x）的定义域；
（2）当x∈（﹣∞，1]时，函数y＝f（x）有意义，求实数a的取值范围．
12．设D是函数y＝f（x）定义域的一个子集，若存在x0∈D，使得f（x0）＝﹣x0成立，则称x0是f（x）的一个“准不动点”，也称f（x）在区间D上存在准不动点．已知．
（1）若a＝1，求函数f（x）的准不动点；
（2）若函数f（x）在区间[0，1]上存在准不动点，求实数a的取值范围．
13．如图，过函数f（x）＝logcx（c＞1）的图象上的两点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M（a，0），N（b，0）（b＞a＞1），线段BN与函数g（x）＝logmx（m＞c＞1）的图象交于点C，且AC与x轴平行．
（1）当a＝2，b＝4，c＝3时，求实数m的值；
（2）当b＝a2时，求﹣的最小值；
（3）已知h（x）＝ax，φ（x）＝bx，若x1，x2为区间（a，b）任意两个变量，且x1＜x2，求证：h（f（x2））＜φ（f（x1））

14．已知函数f（x）＝loga（x2﹣a|x|+3），（a＞0，a≠1）．
（1）若a＝4，写出它的单调递增区间；
（2）若对于的任意实数x1，x2都有f（x1）﹣f（x2）＜0成立，试求实数a的范围．
15．已知f（x）满足其中a＞0且a≠1．
（1）对于x∈（﹣1，1）时，试判断f（x）的单调性，并求当f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0时，求m的值的集合．
（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负数，求a的取值范围．
16．已知函数f（x）＝a•2x+b的图象过点，．
（1）求函数y＝f（x）的反函数y＝f﹣1（x）的解析式；
（2）若，求使得F（x）≤0的x取值范围．
17．我们知道对数函数f（x）＝logax，对任意x，y＞0，都有f（xy）＝f（x）+f（y）成立，若a＞1，则当x＞1时，f（x）＞0，参照对数函数的性质，研究下题；定义在（0，+∞）上的函数f（x）对任意x，y∈（0，+∞）都有f（xy）＝f（x）+f（y），并且当且仅当x＞1时，f（x）＞0成立，
（1）设x，y∈（0，+∞），求证：f（）＝f（y）﹣f（x）；
（2）设x1，x2∈（0，+∞），若f（x1）＞f（x2），比较x1与x2的大小．
18．已知函数f（x）＝3﹣2log2x，g（x）＝log2x
（1）如果x∈[1，2]，求函数h（x）＝[f（x）+1]g（x）的值域；
（2）求函数M（x）＝的最大值．
（3）如果对任意x∈[1，2]，不等式f（x2）f（）＞k•g（x）恒成立，求实数k的取值范围．
19．已知函数f（x）＝loga（a＞0且a≠1）的图象经过点P（﹣，2）．
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
（2）设，用函数单调性的定义证明：函数y＝g（x）在区间（﹣1，1）上单调递减；
（3）解不等式：f（t2﹣2t﹣2）＜0．
20．已知0＜a＜1，在函数y＝logax（x≥1）的图象上有A，B，C三点，它们的横坐标分别是t，t+2，t+4
（Ⅰ）若△ABC面积为S，求S＝f（t）；
（Ⅱ）判断S＝f（x）的单调性，求S＝f（t）最大值．

参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．设a＝log43，b＝log54，c＝2﹣0.01，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
【解答】解：因为0＝log41＜a＝log43＜log44＝1，
0＜b＝log54＜log55＝1，
c＝2﹣0.01＞2≈0.92，
log54＝≈0.86，
＝＝log43×log45＜（）2＝（）2＜1，
∴a，b，c的大小关系为a＜b＜c．
故选：B．
2．设a＝log32，b＝log43，c＝，则（　　）
A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b
【解答】解：由题意，可得4a＝4log32＝＝，可得a＜；
又4b＝4log43＝log481＞log464＝3，可得b＞，
综上得a＜c＜b，
故选：D．
二．解答题（共18小题）
3．已知函数y＝f（x）是R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝（1﹣x）+x．
（1）求f（1）的值；
（2）求函数y＝f（x）的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；
（3）若f（lga）+2＜0，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）f（1）＝f（﹣1）＝﹣2；
（2）令x＞0，则﹣x＜0，
则f（﹣x）＝（1+x）﹣x＝f（x），
故x＞0时，f（x）＝（1+x）﹣x，
故f（x）＝；
故f（x）在（﹣∞，0]递增，在（0，+∞）递减；
（3）若f（lga）+2＜0，即f（lga）＜﹣2，
lga＞0时，f（lga）＜f（1），则lga＞1，
lga＜0时，f（lga）＜f（﹣1），则lga＜﹣1，
故lga＞1或lga＜﹣1，
解得：a＞10或0＜a＜．
4．若f（x）＝x2﹣x+b，且f（log2a）＝b，log2f（a）＝2（a＞0且a≠1），
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）求f（log2x）的最小值及相应x的值；
（Ⅲ）若f（log2x）＞f（1）且log2f（x）＜f（1），求x的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵f （x）＝x2﹣x+b，∴f （log2a）＝（log2a）2﹣loga+b＝b，
∴log2a＝1，∴a＝2．
又∵log2f（a）＝2，f（a）＝4．∴a2﹣a+b＝4，∴b＝2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f （x）＝x2﹣x+2
∴f （log2x）＝（log2x）2﹣log2x+2＝（log2x﹣）2+，
∴当log2x＝，即x＝时，f （log2x）有最小值．
（Ⅲ）由题意知：，
解得，
∴，
∴0＜x＜1．
5．已知函数f（x）＝（x2﹣2ax+3）．
（1）若函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（3，+∞），求实数a的值；
（2）若函数f（x）的定义域为R，值域为（﹣∞，﹣1]，求实数a的值；
（3）若函数f（x）在（﹣∞，1]上为增函数，求实数a的取值范围．
【解答】（1）令u（x）＝x2﹣2ax+3，
由题意，对于函数u（x），其对称轴x＝，
即a＝2．
（2）由题意，对于函数u（x），
△＝（﹣2a）2﹣4×1×3＜0，即，
由函数f（x）的值域可得当x＝＝a时，有f（a）＝﹣1，
解得a＝1或﹣1．
（3）函数f（x）在（﹣∞，1]上为增函数，
则u（x）在（﹣∞，1]上为减函数，
所以对于函数u（x），有对称轴x＝a≥1，
并且当x＝1时，有f（x）min＝f（1）＝1﹣2a+3＞0，
即a＜2，
所以a的取值范围是1≤a＜2．
6．已知函数f（x）＝的图象关于原点对称，其中a为常数．
（1）求a的值；
（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）＝（x+k）在[2，3]上有解，求k的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）＝的图象关于原点对称，
∴f（x）+f（﹣x）＝0，即+＝0，
∴（）＝0，∴＝1恒成立，
即1﹣a2x2＝1﹣x2，即（a2﹣1）x2＝0恒成立，所以a2﹣1＝0，解得a＝±1，
又a＝1时，f（x）＝无意义，故a＝﹣1；
（2）x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m恒成立，即+（x﹣1）＜m，
∴（x+1）＜m在（1，+∞）恒成立，
由于y＝（x+1）是减函数，故当x＝1，函数取到最大值﹣1，
∴m≥﹣1，即实数m的取值范围是m≥﹣1；
（3）f（x）＝在[2，3]上是增函数，g（x）＝（x+k）在[2，3]上是减函数，
∴只需要即可保证关于x的方程f（x）＝（x+k）在[2，3]上有解，下解此不等式组．
代入函数解析式得，解得﹣1≤k≤1，
即当﹣1≤k≤1时关于x的方程f（x）＝（x+k）在[2，3]上有解．
7．设函数f（x）＝ax﹣（k﹣1）a﹣x，（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数，且f（1）＝．
（1）求k，a的值；
（2）求函数f（x）在[1，+∞）上的值域；
（3）设g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2m•f（x），若g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值；
（4）对于（3）中函数g（x），如果g（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝ax﹣（k﹣1）a﹣x，（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数，
∴f（0）＝0，即1﹣（k﹣1）＝0，k＝2，
∵f（1）＝．∴a﹣＝，a＝2，
∴a＝2，k＝2，
（2）∵f（x）＝2x﹣2﹣x在[1，+∞）单调递增，
∴f（1）＝，
∴在[1，+∞）上的值域为[，+∞），
（3）g（x）＝22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），
设t＝2x﹣2﹣x，x∈[1，+∞），t∈[，+∞），
∴k（t）＝t2﹣2mt+2，t∈[，+∞），
∵若g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，
∴k（t）＝t2﹣2mt+2，t∈[，+∞），上的最小值为﹣2，
∴或
即m＝2，或m＝（舍去），
故m＝2
（4）k（t）＝t2﹣2mt+2，t∈[，+∞），
∵g（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，
∴k（t）＞0在t∈[，+∞）上恒成立，
∴或，
解不等式得出∅或，
∴m的取值范围为．
8．已知函数（k∈R），且满足f（﹣1）＝f（1）．
（1）求k的值；
（2）若函数y＝f（x）的图象与直线没有交点，求a的取值范围；
（3）若函数，x∈[0，log23]，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵f（﹣1）＝f（1），
即∴…5分
（2）由题意知方程即方程无解，
令，则函数y＝g（x）的图象与直线y＝a无交点
∵
任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则，
∴．∴，
∴g（x）在（﹣∞，+∞）上是单调减函数．
∵，∴．
∴a的取值范围是（﹣∞，0]．…9分
注意：如果从复合函数角度分析出单调性，给全分． …9分
（3）由题意h（x）＝4x+m×2x，x∈[0，log23]，
令t＝2x∈[1，3]，φ（t）＝t2+mt，t∈[1，3]，
∵开口向上，对称轴．
当，，m＝﹣1
当，即﹣6＜m＜﹣2，，m＝0（舍去）
当，即m＜﹣6，φ（t）min＝φ（3）＝9+3m＝0，m＝﹣3（舍去）
∴存在m＝﹣1得h（x）最小值为0…12分
9．集合A是由满足以下性质的函数f（x）构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数x1，x2，都有．
（1）若f（x）∈A，同时g（x）∈A，求证：f（x）+g（x）∈A．
（2）试判断f（x）＝lgx是否在集合A中，并说明理由．
（3）设f（x）∈A且定义域为（0，+∞），值域为（1，2），，试求出一个满足以上条件的函数f（x）的解析式．
【解答】（1）证明：∵f（x）∈A，g（x）∈A，
∴对∀x1，x2∈R，，，
∴，
∴f（x）+g（x）∈A．
（2）解：f（x）＝lgx不在集合A中．
证明如下：当x1＝1，x2＝10时，，，
∵，
∴，
∴，故f（x）∉A．
（3）解：，x＞0，
x∈（0，+∞）时，，f（x）∈（1，2）．
∴，，
又∀x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，
＝＝
＝＝，
∴f（x）∈A．
综上，，x＞0满足条件．
10．已知函数f（x）＝lg ，f（1）＝0，当x＞0时，恒有f（x）﹣f （）＝lg x．
（1）若不等式f（x）≤lg t的解集为A，且A⊆（0，4]，求实数t的取值范围；
（3）若方程f（x）＝lg（8x+m）的解集为∅，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵当x＞0时，f（x）﹣f（）＝lgx恒成立
∴lg﹣lg＝lgx，
即（a﹣b）x2﹣（a﹣b）x＝0恒成立，
∴a＝b（2分）
又f（1）＝0，即a+b＝2，从而a＝b＝1，
∴f（x）＝lg（4分）
由不等式f（x）≤lgt，
即lg≤lgt⇒≤0且＞0（6分）
由于解集A⊆（0，4]，故0＜t＜2，（7分）
所以A＝（0，]⊆（0，4]即≤4⇒t≤，（8分）
又因为0＜t＜2，所以实数t的取值范围是（0，]（10分）
（2）由lg＝lg（8x+m）⇒⇒（12分）
方程的解集为∅，故有两种情况：
①方程8x2+（6+m）x+m＝0无解，即△＜0，得2＜m＜18（14分）
②方程8x2+（6+m）x+m＝0有解，两根均在[﹣1，0]内，g（x）＝8x2+（6+m）x+m
则⇒0≤m≤2（17分）
综合①②得实数m的取值范围是0≤m＜18（18分）
11．已知f（x）＝lg（a•4x﹣3•2x+2），a∈R．
（1）若a＝1，求函数y＝f（x）的定义域；
（2）当x∈（﹣∞，1]时，函数y＝f（x）有意义，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1，f（x）＝lg（4x﹣3•2x+2），则4x﹣3•2x+2＞0，解得：2x＜1或2x＞2，
由指数函数的性质，解得：x＜0或x＞1，
∴函数y＝f（x）的定义域（﹣∞，0）∪（1，+∞）；
（2）当x∈（﹣∞，1]时，令t＝2x，则t∈（0，2]，则y＝f（t）＝lg（a•t2﹣3t+2）有意义，
则a•t2﹣3t+2＞0在（0，2]上恒成立，则a＞﹣2•+3•在（0，2]上恒成立，
由﹣2•+3•＝﹣2（﹣）2+，
当t∈（0，2]时，∈[，+∞），
∴﹣2（﹣）2+≤，
∴a＞，
∴a的取值范围（，+∞）．
12．设D是函数y＝f（x）定义域的一个子集，若存在x0∈D，使得f（x0）＝﹣x0成立，则称x0是f（x）的一个“准不动点”，也称f（x）在区间D上存在准不动点．已知．
（1）若a＝1，求函数f（x）的准不动点；
（2）若函数f（x）在区间[0，1]上存在准不动点，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，当a＝1时，可得f（x）＝，x∈[0，1]，
可得：4x+2x﹣1＝2x，
即4x＝1
∴x＝0．
当a＝1，函数f（x）的准不动点为x0＝0．
（2）由定义：方程f（x）＝，x∈[0，1]上实根，
可得：F（x）＝4x+a•2x﹣1﹣2x，即F（x）＝（2x）2+a•2x﹣1﹣2x有零点”，
且4x+a•2x﹣1＞0，
令2x＝t，
x∈[0，1]，
则t∈[1，2]
那么F（x）转化为g（t）＝t2+at﹣t﹣1，在t∈[1，2]上有零点，图象是一条连续不断的曲线，
且t2+at﹣1＞0（1≤t≤2）．
根据二次函数根的分布：则有或．
解得．
要使t2+at﹣1＞0（1≤t≤2）恒成立．
其对称轴x＝，在1≤t≤2上是递增的，当t＝1时最小值，
可得a＞0．
∵存在准不动点，综上可得实数a的取值范围是（0，1]．
13．如图，过函数f（x）＝logcx（c＞1）的图象上的两点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M（a，0），N（b，0）（b＞a＞1），线段BN与函数g（x）＝logmx（m＞c＞1）的图象交于点C，且AC与x轴平行．
（1）当a＝2，b＝4，c＝3时，求实数m的值；
（2）当b＝a2时，求﹣的最小值；
（3）已知h（x）＝ax，φ（x）＝bx，若x1，x2为区间（a，b）任意两个变量，且x1＜x2，求证：h（f（x2））＜φ（f（x1））

【解答】解：（1）由题意得A（2，log32），B（4，log34），C（4，logm4）．
又AC与x轴平行，∴logm4＝log32，
解得m＝9．
（2）由题意得A（a，logca），B（b，logcb），C（b，logmb）．
∵AC与x轴平行，∴logmb＝logca．
∵b＝a2，∴m＝c2，
∴．
∴时，﹣取得最小值﹣1．
（3）h（f（x2））＝，φ（f（x1））＝，
∵a＜x1＜x2＜b，且c＞1，∴logca＜logcx1＜logcx2＜logcb．
又∵a＞1，b＞1，∴．
又∵logcb•logca＝logca•logcb，∴．
∴，∴．
即h[f（x2）]＜φ（f（x1））．
14．已知函数f（x）＝loga（x2﹣a|x|+3），（a＞0，a≠1）．
（1）若a＝4，写出它的单调递增区间；
（2）若对于的任意实数x1，x2都有f（x1）﹣f（x2）＜0成立，试求实数a的范围．
【解答】解：（1）当a＝4时，f（x）＝log4（x2﹣4|x|+3），此函数是一个复合函数，外层是增函数，
令x2﹣4|x|+3＞0可解得x＜﹣3，或﹣1＜x＜1，或x＞3，即函数的定义域是（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）
又x2﹣4|x|+3＝
∴内层函数在（﹣1，0）与（3，+∞）上是增函数
∴复合函数f（x）＝loga（x2﹣a|x|+3）在（﹣1，0]与（3，+∞）上是增函数
所以函数的单调递增区间为（﹣1，0]与（3，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）由题意，易知函数为偶函数，则当时为减函数．
对于时，f（x）＝loga（x2﹣ax+3），（a＞0，a≠1）﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
设g（x）＝x2﹣ax+3，由题意得：，或﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
则2≤a＜4或0＜a＜1﹣﹣﹣﹣﹣（16分）
15．已知f（x）满足其中a＞0且a≠1．
（1）对于x∈（﹣1，1）时，试判断f（x）的单调性，并求当f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0时，求m的值的集合．
（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负数，求a的取值范围．
【解答】解：（1）令logax＝t，则x＝at，所以，即
当a＞1时，因为ax﹣a﹣x为增函数，且＞0，所以f（x）在（﹣1，1）上为增函数；
当0＜a＜1时，因为ax﹣a﹣x为减函数，且＜0，所以f（x）在（﹣1，1）上为增函数；
综上所述，f（x）在（﹣1，1）上为增函数．
又因为f（﹣x）＝＝﹣f（x），故f（x）为奇函数．
所以f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0⇔f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2）⇔f（1﹣m）＜f（m2﹣1）
由f（x）在（﹣1，1）上为增函数，可得
解得1＜m＜，即m的值的集合为{m|1＜m＜}
（2）由（1）可知，f（x）为增函数，故x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负数
只要f（2）﹣4≤0即可，即f（2）＝＝≤4
解得2﹣≤a≤2+，
又a≠1，可得符合条件的a的取值范围是[2﹣，1）∪（1，2+]．
16．已知函数f（x）＝a•2x+b的图象过点，．
（1）求函数y＝f（x）的反函数y＝f﹣1（x）的解析式；
（2）若，求使得F（x）≤0的x取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）＝a•2x+b的图象过点，，
∴，解得a＝，b＝，
∴f（x）＝+，
设y＝，
则2x＝2y﹣1，x＝log2（2y﹣1），
x，y互换得y＝f（x）的反函数y＝f﹣1（x）的解析式为y＝f﹣1（x）＝log2（2x﹣1），x．
（2）∵
＝﹣＝﹣，
F（x）≤0，
∴≤＝，
∴，解得0＜x≤．
∴x取值范围是（0，]．
17．我们知道对数函数f（x）＝logax，对任意x，y＞0，都有f（xy）＝f（x）+f（y）成立，若a＞1，则当x＞1时，f（x）＞0，参照对数函数的性质，研究下题；定义在（0，+∞）上的函数f（x）对任意x，y∈（0，+∞）都有f（xy）＝f（x）+f（y），并且当且仅当x＞1时，f（x）＞0成立，
（1）设x，y∈（0，+∞），求证：f（）＝f（y）﹣f（x）；
（2）设x1，x2∈（0，+∞），若f（x1）＞f（x2），比较x1与x2的大小．
【解答】解：（1）证明：令x＝y＝1，则由f（xy）＝f（x）+f（y）知，
f（1）＝f（1）+f（1），
解得，f（1）＝0，
令y＝，则f（x•）＝f（x）+f（）＝0，
即f（）＝﹣f（x），
故f（）＝f（y）+f（）＝f（y）﹣f（x）．
（2）设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则
f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）﹣f（x1•）
＝f（x1）﹣[f（x1）+f（）]
＝﹣f（），
∵0＜x1＜x2，
∴＞1，
∴﹣f（）＜0，
即f（x）在（0，+∞）上是增函数，
又∵f（x1）＞f（x2），
∴x1＞x2．
18．已知函数f（x）＝3﹣2log2x，g（x）＝log2x
（1）如果x∈[1，2]，求函数h（x）＝[f（x）+1]g（x）的值域；
（2）求函数M（x）＝的最大值．
（3）如果对任意x∈[1，2]，不等式f（x2）f（）＞k•g（x）恒成立，求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）令t＝log2x，则f（x）＝3﹣t，g（x）＝t，
h（x）＝（4﹣2log2x）•log2x＝﹣2（t﹣1）2+2．
∵x∈[1，2]，∴t∈[0，1]，
故当t＝1时，h（x）取得最大值为2，当t＝2时，函数取得最小值为0，
∴h（x）的值域为[0，2]．
（2）函数M（x）＝＝，
∵f（x）﹣g（x）＝3（1﹣log2x），
∴当x∈（0，2]时，f（x）≥g（x） M（x）＝log2x．
当x∈（2，+∞）时，f（x）＜g（x） M（x）＝3﹣2log2x．
即M（x）＝．
当0＜x≤2时，M（x）最大值为1；当x＞2时，M（x）＜1．
综上：当x＝2时，M（x）取到最大值为1．
（3）∵对任意x∈[1，2]，不等式f（x2）f（）＞k•g（x）恒成立，
即（3﹣4log2x）（3﹣log2x）＞klog2x．
∵x∈[1，2]，∴t∈[0，1]，∴（3﹣4t）（3﹣t）＞kt对一切t∈[0，1]恒成立．
①当t＝0时，k∈R．
②当t∈（0，1]，k＜+4t﹣15，∵h（t）＝+4t﹣15在（0，1]上是减函数，
∴h（t）min＝﹣2，（t＝1时），∴k＜﹣2．
综述，k的取值范围为（﹣∞，﹣2）．
19．已知函数f（x）＝loga（a＞0且a≠1）的图象经过点P（﹣，2）．
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
（2）设，用函数单调性的定义证明：函数y＝g（x）在区间（﹣1，1）上单调递减；
（3）解不等式：f（t2﹣2t﹣2）＜0．
【解答】解：（1），解得：a2＝9，∵a＞0 且a≠1，
∴a＝3；
函数y＝f（x）的解析式：f（x）＝log3…（3分）
（2）设x1、x2为（﹣1，1）上的任意两个值，且x1＜x2，则x1+1＞0，x2+1＞0，x2﹣x1＞0
∵g（x1）﹣g（x2）＝＝ …（6分）
∴g（x1）﹣g（x2）＞0，
∴g（x1）＞g（x2）．
∴在区间（﹣，1）上单调递减．…（8分）
（3）∵
∴…（10分）
由，
得：t2﹣2t﹣2＞0或t2﹣2t﹣2＜﹣1；
由
得：﹣1＜t2﹣2t﹣2＜1，
∴0＜t2﹣2t﹣2＜1…（13分）
∴或． …（15分）
20．已知0＜a＜1，在函数y＝logax（x≥1）的图象上有A，B，C三点，它们的横坐标分别是t，t+2，t+4
（Ⅰ）若△ABC面积为S，求S＝f（t）；
（Ⅱ）判断S＝f（x）的单调性，求S＝f（t）最大值．
【解答】（Ⅰ）如右所示，设A'、B'、C'是A、B、C在x轴上的射影，
则A（t，logat），B（t+2，loga（t+2）），C（t+4，loga（t+4）），
设BB'与AC相交于点D，则可得D（t+2，（logat+loga（t+4））），
于是S＝f（t）＝|A'C'|•|BD|＝•4•[（logat+loga（t+4））﹣loga（t+2）]
＝2loga＝loga（0＜a＜1，t≥1）；
（Ⅱ）∵x≥1，∴t≥1，∵S＝f（t）＝logα＝loga[1﹣]，
∴当t≥1时，u＝（t+2）2是单调递增，单调递增，
∵0＜α＜1，∴S＝f（t）在[1，+∞）上是单调递减函数，
∵t≥1时，有≤，
∴1﹣≥，logα[1﹣]≤，
因此，S＝f（t）的最大值是logα．

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日期：2021/9/6 16:21:41；用户：13777899296；邮箱：13777899296；学号：27796731

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