第五讲.常见基本初等函数练习题

第五讲.常见的基本初等函数

高中数学中常见的基本初等函数有，二次函数与幂函数，指数函数，对数函数，主要考察这些函数的基本性质和相关应用，

一．基础知识总结

1. 二次函数及其性质

（1）二次函数解析式的三种形式

①一般式：

②顶点式：

③两根式：

（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．

③若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便．

（3）二次函数图象的性质

①二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是．

②当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，．

③二次函数当时，图象与轴有两个交点．

（4）一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．

       设一元二次方程的两实根为，且．令，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向： ②对称轴位置： ③判别式： ④端点函数值符号．

 (1)  

②x1≤x2＜k    

③x1＜k＜x2      af(k)＜0

④k1＜x1≤x2＜k2  

⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2      f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合

⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2     

此结论可直接由⑤推出．

2. 指数函数

3. 对数运算及对数函数

（1）对数的定义

    ①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．

②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：．

（2）几个重要的对数恒等式

，，．

（3）常用对数与自然对数

常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．

（4）对数的运算性质   如果，那么

①加法：       ②减法：

③数乘：       ④

⑤ 

⑥换底公式：

（5）对数函数

4. 幂函数及其性质

（1）幂函数的定义

   一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．

（2）幂函数的性质

①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．  

②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．

③单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．

④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．

⑤图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方．

二．常见例题讲解

1. 应用基本初等函数的性质函数值大小比较类的题型

1.【2019年理天津卷】已知，，，则的大小关系为（   ）

A.  B.

C.  D.

2.【2019年理全国卷3】设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（  ）

A.

B.

C.

D.

3.【2019年全国卷2】若a>b，则

A. ln(a−b)>0 B. 3a<3b

C. a3−b3>0 D. │a│>│b│

4.【2019年全国卷1】已知，则

A.        B.        C.         D.

5．【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则

A.     B.   C.     D.

6.【2016课标3理数】已知，，，则（     ）

A       B      C          D

7.【2015高考天津，理7】已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，则的大小关系为(   )

（A）（B）（C）（D）

8.【2017天津，理6】已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为

（A） （B）  （C）  （D）

比较两个指数幂的大小

1.比较两个指数幂的大小时,尽量化为同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图象比较大小;当底数、指数均不同时,可以利用中间值比较.

2.解决简单的指数方程或不等式的问题主要利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.

3.求解指数型函数与函数性质的综合问题,要明确指数型函数的构成,涉及值域、奇偶性、单调区间、最值等问题时,都要借助相关性质的知识分析判断.

比较对数式的大小:

(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.

(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较.

(3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.

2.解简单对数不等式,先统一底数,再利用函数的单调性,要注意底数a的分类讨论.

3.在判断对数型复合函数的单调性时,一定要明确底数a对增减性的影响,以及真数必须为正的限制条件.

参考答案

1.【答案】A

分析：此题是不同底，不同指数的指数式大小比较因此利用等中间值区分各个数值的大小。

【详解】，，

，故，所以。

故选A。

2.【答案】C

分析：由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小．

【详解】是R的偶函数，．

，

又在(0，+∞)单调递减，

∴，

，故选C．

3.【答案】C

分析：本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．

4.【答案】B

分析：运用中间量比较，运用中间量比较

【详解】则．故选B．

5.【答案】B

6.【答案】A

分析：因为，，所以，故选A．

7.【答案】C

分析;因为函数为偶函数，所以，即，所以

所以，故选C.

8.【答案】

【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，

从而是上的偶函数，且在上是增函数，

，

，又，则，所以即，

，

所以，故选C．