2020-2021学年2.2直接证明与间接证明综合训练题

直接证明与间接证明

2.2.2反证法

典型例题

例1（1）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（    ）

( A ) 假设三内角都不大于60度；     (B) 假设三内角都大于60度；

(C) 假设三内角至多有一个大于60度；    (D) 假设三内角至多有两个大于60度。

（2）已知＝2，关于p＋q的取值范围的说法正确的是  （    ）

（A）一定不大于2  （B）一定不大于 （C）一定不小于  （D）一定不小于2

解析  用反证法可得（1）应选（B）   （2）应选（A）

例2 用反证法证明命题“如果那么”时，假设的内容应为_____________.

解析   用反证法可得应填 或

例3 若、，

(1)求证：；

(2)令，写出、、、的值，观察并归纳出这个数列的通项公式；

(3)证明：存在不等于零的常数p，使是等比数列，并求出公比q的值.

解：（1）（采用反证法）. 若，即, 解得

从而与题设,相矛盾，

故成立.

(2) 、、、、,  .

（3）因为 又,

所以,

因为上式是关于变量的恒等式，故可解得、

练习

一、选择题

1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是  (     )

（A）有一个解       （B）有两个解       （C）至少有三个解     （D）至少有两个解

2．设大于0，则3个数：，，的值 (     )

（A）都大于2   （B）至少有一个不大于2   （C）都小于2   （D）至少有一个不小于2

3．已知α∩β＝l，aα、bβ，若a、b为异面直线，则 (     )

（A） a、b都与l相交      （B） a、b中至少一条与l相交

（C） a、b中至多有一条与l相交 （D） a、b都与l相交

二、填空题

4．用反证法证明“，求证：中至少有一个不小于”时的假设为

5．用反证法证明“若＞0，则 ”时的假设为

三、解答题

6．证明：不能为同一等差数列的三项.

7．对于直线l：y=kx+1，是否存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x－y=1的交点A、B关于直线y=ax（a为常数）对称？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

2．2．2      反证法参考答案

一、选择题

（1）C（2）D（3）B

二、填空题

（4）假设都小于，即

（5）

三、解答题

6证明：假设、、为同一等差数列的三项，则存在整数m,n满足

  ①        ②

①n-②m得：n-m=(n-m)   两边平方得： 3n2+5m2-2mn=2(n-m)2

左边为无理数，右边为有理数，且有理数无理数

所以，假设不正确。即 、、不能为同一等差数列的三项。

7证明：（反证法）假设存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称，设A（x1，y1）、B（x2，y2）则

        由 ④

由②、③有a（x1+x2）=k（x1+x2）+2     ⑤

由④知x1+x2=  代入⑤整理得：ak=－3与①矛盾。

故不存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称。