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中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第28讲 直角三角形（解析版）学案
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这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第28讲 直角三角形（解析版）学案，共27页。学案主要包含了直角三角形，勾股定理及逆定理，直角三角形全等的判定，解直角三角形等内容，欢迎下载使用。
考点二十八：直角三角形
聚焦考点☆温习理解
一、直角三角形
1.定义
有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
2.性质
(1)直角三角形两锐角互余.
(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
3.判定
(1)两个内角互余的三角形是直角三角形.
(2)三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
二、勾股定理及逆定理
1. 勾股定理：
直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2;
2. 勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
三、直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方法，还有HL定理(斜边、直角边定理)：
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)
名师点睛☆典例分类
考点典例一、直角三角形的判定
【例1】(2017-2018学年山东省诸城市桃林镇桃林初中期末模拟)下列条件不能判定一个三角形为直角三角形的是( )
A. 三个内角之比为1：2：3 B. 一边上的中线等于该边的一半
C. 三边为 、 、 D. 三边长为m2+n2、m2﹣n2、2mn(m≠0，n≠0)
【答案】C
【举一反三】
(2018年广西防城港市中考模拟)如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有 (多选、错选不得分)．
①∠A+∠B=90°
②AB2=AC2+BC2
③
④CD2=AD•BD．
【答案】①②④．
【解析】试题解析：①∵三角形内角和是180°，由①知∠A+∠B=90°，
∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形．故选项①正确．
②AB，AC，BC分别为△ABC三个边，由勾股定理的逆定理可知，②正确．
③题目所给的比例线段不是△ACB和△CDB的对应边，且夹角不相等，无法证明△ACB与△CDB相似，也就不能得到∠ACB是直角，故③错误；
④若△ABC是直角三角形，已知CD⊥AB，
又∵CD2=AD•BD，(即 )
∴△ACD∽△CBD
∴∠ACD=∠B
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠B+∠DCB=90°
△ABC是直角三角形
∴故选项④正确；
故答案为：①②④．
(2018·保定模拟)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪一灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2.
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b－a.
∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab，
又∵S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)，
∴b2＋ab＝c2＋a(b－a)．
∴a2＋b2＝c2.
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°.求证：a2＋b2＝c2.
证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b－a.
∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE＝ab＋b2＋ab，
又∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c2＋a(b－a)，
∴ab＋b2＋ab＝ab＋c2＋a(b－a)．
∴a2＋b2＝c2.
归纳：解决与直角三角形有关的计算：(1)若直角三角形中含有30°角时，可考虑利用30°角所对的直角边是斜边的一半；(2)若直角三角形出现中线时，可考虑利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解；(3)计算有关线段长问题，如果所求线段是在直角三角形或可通过作辅助线作出含可求出两边的直角三角形中，一般应用勾股定理求解，即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．
考点典例二、直角三角形的性质
【例2】(2018江苏南京中考模拟)如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于( )
A．2 B． C． D．
【答案】D．
【解析】
试题解析：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，
∴BC==5，
∵CD=DB，
∴AD=DC=DB=，
∵•BC•AH=•AB•AC，
∴AH=，
∵AE=AB，DE=DB=DC，
∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，
∵•AD•BO=•BD•AH，
∴OB=，
∴BE=2OB=，
在Rt△BCE中，EC= .
故选D．[来源:学&科&网Z&X&X&K]
考点：1.翻折变换(折叠问题)；2.直角三角形斜边上的中线；3.勾股定理．
【举一反三】
我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为( )
A. 20 B. 24 C. D.
【来源】浙江省温州市2018年中考数学试卷
【答案】B
点睛: 本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键.
考点典例三、直角三角形斜边上的中线
【例3】(2019•湖南邵阳•3分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于( )
A．120° B．108° C．72° D．36°
【答案】B
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝54°．
∵AD是斜边BC上的中线，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．
∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，
∴∠ADF＝∠ADC＝72°，
∴∠BED＝∠BAD+∠ADF＝36°+72°＝108°．
故选：B．
【举一反三】
(2018•杨浦区一模)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，M是AB中点，MH⊥BC，垂足为点H，CM与AH交于点O，如果AB=12，那么CO= ．
【答案】4
【解析】试题分析：根据直角三角形斜边上中线的性质以及重心的性质即可求出答案．
试题解析：∵∠C=90°，
CM是AB边上的中线，
∴CM=AB=6，
∵MH⊥BC，
∴H是BC的中点，
∴AH是BC边上的中线，
∵AH与CM交于点O，
∴O是△ABC的重心，
∴，
∴CO=CM=4，
故答案为：4；
点睛：本题考查直角三角形斜边上的中线，解题的关键是根据条件判断点O是△ABC的重心，本题属于中等题型．
考点典例四、解直角三角形
【例4】(2018浙江衢州中考模拟)如图，把个边长为1的正方形拼接成一排，求得，，，计算 ，……按此规律，写出 (用含的代数式表示)．
【答案】，.
【解析】
试题解析：作CH⊥BA4于H，
由勾股定理得，BA4=，A4C=，
△BA4C的面积=4-2-=，
∴××CH=，
解得，CH=，
则A4H==，
∴tan∠BA4C==，
1=12-1+1，
3=22-2+1，
7=32-3+1，
∴tan∠BAnC=.
考点：1.解直角三角形；2.勾股定理；3.正方形的性质．
【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理和正方形的性质.．
【举一反三】
某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB、CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°，点E的俯角也为30°，测得B、E间距离为10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高(结果保留根号)
【来源】四川省宜宾市2018年中考数学试题
【答案】立柱CD的高为(15﹣)米．
【解析】分析：作CH⊥AB于H，得到 BD=CH，设CD=x米，根据正切的定义分别用x表示出HC、ED，根据正切的定义列出方程，解方程即可．
详解：作CH⊥AB于H，
则四边形HBDC为矩形，
∴BD=CH，
由题意得，∠ACH=30°，∠CED=30°，
点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、仰角俯角的定义是解题的关键．
课时作业☆能力提升[来源:学|科|网Z|X|X|K]
一、选择题
1. 在中，，于，平分交于，则下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
【来源】江苏省扬州市2018年中考数学试题
【答案】C
【解析】分析：根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE=∠DCE，再结合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边即可得出BC=BE，此题得解．
点睛：本题考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、余角、角平分线的定义以及等腰三角形的判定，通过角的计算找出∠BEC=∠BCE是解题的关键．
2. 在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【来源】山东省滨州市2018年中考数学试题
【答案】A
【解析】分析：直接根据勾股定理求解即可．
详解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，
∴弦为
故选A．
点睛：本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方3. (浙江省宁波市李兴贵中学2017-2018学年八年级上册期末模拟)直角三角形两直角边长为a，b，斜边上高为h，则下列各式总能成立的是( )
A. ab=h2 B. a2+b2=2h2 C. D.
【答案】D
【解析】根据直角三角形的面积可以导出：斜边c=． 再结合勾股定理：a2+b2=c2． 进行等量代换，得a2+b2=，两边同除以a2b2， 得．
故选D．
4. (华师大版九年级数学下册：2018年中考模拟)“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得(单位：尺)，则井深为( )
A. 1.25尺 B. 57.5尺 C. 6.25尺 D. 56.5尺
【答案】B
【解析】依题意有△ABF∽△ADE，
∴AB:AD=BF:DE，
即5:AD=0.4:5，
解得AD=62.5，
BD=AD−AB=62.5−5=57.5尺。
故选：B.
5. (2018•金山区一模)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D是AB的中点，G是△ABC的重心，如果以点D为圆心DG为半径的圆和以点C为圆心半径为r的圆相交，那么r的取值范围是( )
A．r＜5 B．r＞5 C．r＜10 D．5＜r＜10
【答案】D
∴AB==15，CD=AB=7.5，
∵G是△ABC的重心，
∴DG=CD=2.5，
∴CG=7.5﹣2.5=5，CE=7.5+2.5=10，
∵以点D为圆心DG为半径的圆和以点C为圆心半径为r的圆相交，
∴r的取值范围是5＜r＜10，
故选：D．
点睛：此题主要考查了圆与圆的位置关系、三角形重心性质以及直角三角形斜边上中线的性质的运用，解决问题的关键是结合题意画出符合题意的图形，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
二、填空题
6. (吉林省实验中学2018年九年级第二学期第一次模拟数学试卷)已知在中，BC=6，AC=， A=30°，则AB的长是________________.
【答案】12或6
【解析】根据题意画出图形如下图所示，则由题意可知：图中，AC=，CB1=CB2=6，∠A=30°，
过点C作CD⊥AB于点D，
∴∠CDA=∠CDB2=90°，
∵AC=，∠A=30°，CB1=CB2，
∴CD=，AD=，DB1=DB2=，
∴AB=AD-DB1=9-3=6或AB=AD+DB2=9+3=12.
故答案为：6或12.
点睛：本题的解题要点是：根据题意画出图形时，需注意∠ABC可能是钝角，也可能是锐角，因此需分这两种情况分别进行讨论解答，解题时不能忽略了其中任何一种情况.
7. (山东省平邑县阳光中学2018届九年级一轮复习)如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=6，AF=4，cos∠EAF=，则CF=______．学！科网
【答案】
【解析】试题解析：∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴
又∵AB∥DC，
∴ .
又∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，即 .
又∵ ∠ B=∠D，所以 ， .
由题，AF=4，AE=6，
则根据勾股定理，易得 ， ，
∴ .
所以本题的正确答案为 .
8.在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，则BC= ．
【答案】．
【解析】
试题分析：∵∠B=30°，AB=12，AC=6，∴△ABC是直角三角形，∴BC===，故答案为：．
考点：1．含30度角的直角三角形；2．勾股定理．
9. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上.
(1)的大小为__________(度)；
(2)在如图所示的网格中，是边上任意一点.为中心，取旋转角等于，把点逆时针旋转，点的对应点为.当最短时，请用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的(不要求证明)__________．
【来源】天津市2018年中考数学试题
【答案】 ； 见解析
【解析】分析：(1)利用勾股定理即可解决问题；
(2)如图，取格点，，连接交于点；取格点，，连接交延长线于点；取格点，连接交延长线于点，则点即为所求.
详解：(1)∵每个小正方形的边长为1，
∴AC=，BC=，AB=,
(2)如图，即为所求.
点睛：本题考查作图-应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题.
10. (浙江省平阳县2017-2018学年九年级第一学期第二次阶段检测数学数学试题)如图以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=4，AO=6，则AC= ________
【答案】16
【解析】试题分析：在AC上取一点G使CG＝AB＝4，连接OG．
∵∠GOC＋∠GOH＝90°，
∴∠GOH＋∠BOA＝90°，
即：∠AOG＝90°．
∴△AOG是等腰直角三角形，
∴AG＝＝12．
∴AC＝16．
故答案为：16．
点睛：本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．
11. (天津市南开区育红中学 2018年九年级数学中考夯基卷)某直角三角形三条边的平方和为200，则这个直角三角形的斜边长为 ．
【答案】10．
【解析】解：∵一个直角三角形的三边长的平方和为200，∴斜边长的平方为100，则斜边长为：10．故答案为：10．
三、解答题
12. (2018•崇明县一模)如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，cosA=，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF．
(1)如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；
(2)如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE的正切值；
(3)如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长．
【答案】见解析
试题解析：(1)∵∠ACB=90°，
∴，
∵AC=8，
∴AB=10，
∵D是AB边的中点，
∴，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA=∠DEC=90°，
∴，
∴AE=4，
∴CE=8﹣4=4，
∵在Rt△AED中，AE2+DE2=AD2，
∴DE=3，
∵DF⊥DE，
∴∠FDE=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴DF=EC=4，
∵在Rt△EDF中，DF2+DE2=EF2，
∴EF=5
(2)不变
如图2，
过点D作DH⊥AC，DG⊥BC，垂足分别为点H、G，
由(1)可得DH=3，DG=4，
∵DH⊥AC，DG⊥BC，
∴∠DHC=∠DGC=90°
又∵∠ACB=90°，
∴四边形DHCG是矩形，
∴∠HDG=90°，
∵∠FDE=90°，
∴∠HDG﹣∠HDF=∠EDF﹣∠HDF，
即∠EDH=∠FDG，
又∵∠DHE=∠DGF=90°
∴△EDH∽△FDG，
∴，
∵∠FDE=90°，
∴，
即∠DFC=90°，
又∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴，
∴，
②当FQ=FC时，
∴∠BCD=∠CQF，
∵点D是AB的中点，
∴BD=CD=AB=5，
∴∠BDC=∠BCD，
∴∠BCD=∠FCQ，∠BDC=∠CFQ，
∴△FQC∽△DCB，
∴设DE=3k，则DF=4k，EF=5k，
∵∠DEF=∠DCF=∠CQF=∠DQE，
∴DE=DQ=3k，
∴CQ=5﹣3k，
∵△DEQ∽△DCB，
∴，
∴，
∴，
∵△FQC∽△DCB，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
③当CF=CQ时，如图3，
∴∠BCD=∠CQF，
由②知，CD=BD，
∴∠BDC=∠BCD，
∵△EDQ∽△BDK，
∴，
∴DQ=m，
∴CQ=FC=5﹣m，
∵△CQF∽△BDK，
∴，
∴，
解得m=，
∴，
∴．
即：△CQF是等腰三角形时，BF的长为3或或．
点睛：此题是三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是判断出相似三角形得出比例式建立方程求解．
13. (2019•河北)已知：整式A=(n2-1)2+(2n)2，整式B>0．
尝试化简整式A．
发现A=B2，求整式B．
联想由上可知，B2=(n2-1)2+(2n)2，当n>1时，n2-1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：
直角三角形三边
n2-1
2n
B
勾股数组Ⅰ
/
8
__________
勾股数组Ⅱ
35
/
__________
【解析】A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2，
∵A=B2，B>0，
∴B=n2+1，
当2n=8时，n=4，∴n2+1=42+1=15；
当n2-1=35时，n2+1=37．
故答案为：15；37．
14在菱形中，,点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随点的位置变化而变化.
(1)如图1，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ；
(2)当点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，
请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理).
(3) 如图4，当点在线段的延长线上时，连接，若 , ,求四边形的面积.
【来源】江西省2018年中等学校招生考试数学试题
【答案】(1)BP=CE； CE⊥AD；(2)成立，理由见解析；(3) .
【详解】(1)①BP=CE，理由如下：
连接AC，
∵菱形ABCD，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE ，∠PAE=60° ，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE；
(2)(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立，理由如下：
连接AC，
∵菱形ABCD，∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD=120° ，
∠BAP=120°＋∠DAP，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE ， ∠PAE=60° ，
∴∠CAE=60°＋60°＋∠DAP=120°＋∠DAP，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE，，
∴∠DCE=30° ，∵∠ADC=60°，
∴∠DCE＋∠ADC=90° ， ∴∠CHD=90° ，∴CE⊥AD，
∴(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立；
(3) 连接AC交BD于点O，CE，作EH⊥AP于H，
由(2)知BP=CE=8，∴DP=2，∴OP=5，
∴，
∵△APE是等边三角形，∴ ， ，
∵，
∴，
=
=
=，
∴四边形ADPE的面积是 .
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形判定与性质等，熟练掌握相关知识，正确添加辅助线是解题的关键. 学科*网
15. (2019•枣庄)在中，，，于点．
(1)如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段AM的长；
(2)如图2，点，分别在，上，且，求证：；
(3)如图3，点在的延长线上，点在上，且，求证：．
【解析】(1)∵，，，
∴，，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
由勾股定理得，，即，解得，
∴．
(2)∵，，∴，
在和中，，
∴，
∴．
(3)如图，过点作交的延长线于，
∴，
则，，∴，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，∴，
∴．
【名师点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形
的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
考点二十八：直角三角形
聚焦考点☆温习理解
一、直角三角形
1.定义
有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
2.性质
(1)直角三角形两锐角互余.
(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
3.判定
(1)两个内角互余的三角形是直角三角形.
(2)三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
二、勾股定理及逆定理
1. 勾股定理：
直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2;
2. 勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
三、直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方法，还有HL定理(斜边、直角边定理)：
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)
名师点睛☆典例分类
考点典例一、直角三角形的判定
【例1】(2017-2018学年山东省诸城市桃林镇桃林初中期末模拟)下列条件不能判定一个三角形为直角三角形的是( )
A. 三个内角之比为1：2：3 B. 一边上的中线等于该边的一半
C. 三边为 、 、 D. 三边长为m2+n2、m2﹣n2、2mn(m≠0，n≠0)
【答案】C
【举一反三】
(2018年广西防城港市中考模拟)如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有 (多选、错选不得分)．
①∠A+∠B=90°
②AB2=AC2+BC2
③
④CD2=AD•BD．
【答案】①②④．
【解析】试题解析：①∵三角形内角和是180°，由①知∠A+∠B=90°，
∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形．故选项①正确．
②AB，AC，BC分别为△ABC三个边，由勾股定理的逆定理可知，②正确．
③题目所给的比例线段不是△ACB和△CDB的对应边，且夹角不相等，无法证明△ACB与△CDB相似，也就不能得到∠ACB是直角，故③错误；
④若△ABC是直角三角形，已知CD⊥AB，
又∵CD2=AD•BD，(即 )
∴△ACD∽△CBD
∴∠ACD=∠B
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠B+∠DCB=90°
△ABC是直角三角形
∴故选项④正确；
故答案为：①②④．
(2018·保定模拟)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪一灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2.
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b－a.
∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab，
又∵S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)，
∴b2＋ab＝c2＋a(b－a)．
∴a2＋b2＝c2.
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°.求证：a2＋b2＝c2.
证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b－a.
∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE＝ab＋b2＋ab，
又∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c2＋a(b－a)，
∴ab＋b2＋ab＝ab＋c2＋a(b－a)．
∴a2＋b2＝c2.
归纳：解决与直角三角形有关的计算：(1)若直角三角形中含有30°角时，可考虑利用30°角所对的直角边是斜边的一半；(2)若直角三角形出现中线时，可考虑利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解；(3)计算有关线段长问题，如果所求线段是在直角三角形或可通过作辅助线作出含可求出两边的直角三角形中，一般应用勾股定理求解，即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．
考点典例二、直角三角形的性质
【例2】(2018江苏南京中考模拟)如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于( )
A．2 B． C． D．
【答案】D．
【解析】
试题解析：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，
∴BC==5，
∵CD=DB，
∴AD=DC=DB=，
∵•BC•AH=•AB•AC，
∴AH=，
∵AE=AB，DE=DB=DC，
∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，
∵•AD•BO=•BD•AH，
∴OB=，
∴BE=2OB=，
在Rt△BCE中，EC= .
故选D．[来源:学&科&网Z&X&X&K]
考点：1.翻折变换(折叠问题)；2.直角三角形斜边上的中线；3.勾股定理．
【举一反三】
我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为( )
A. 20 B. 24 C. D.
【来源】浙江省温州市2018年中考数学试卷
【答案】B
点睛: 本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键.
考点典例三、直角三角形斜边上的中线
【例3】(2019•湖南邵阳•3分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于( )
A．120° B．108° C．72° D．36°
【答案】B
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝54°．
∵AD是斜边BC上的中线，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．
∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，
∴∠ADF＝∠ADC＝72°，
∴∠BED＝∠BAD+∠ADF＝36°+72°＝108°．
故选：B．
【举一反三】
(2018•杨浦区一模)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，M是AB中点，MH⊥BC，垂足为点H，CM与AH交于点O，如果AB=12，那么CO= ．
【答案】4
【解析】试题分析：根据直角三角形斜边上中线的性质以及重心的性质即可求出答案．
试题解析：∵∠C=90°，
CM是AB边上的中线，
∴CM=AB=6，
∵MH⊥BC，
∴H是BC的中点，
∴AH是BC边上的中线，
∵AH与CM交于点O，
∴O是△ABC的重心，
∴，
∴CO=CM=4，
故答案为：4；
点睛：本题考查直角三角形斜边上的中线，解题的关键是根据条件判断点O是△ABC的重心，本题属于中等题型．
考点典例四、解直角三角形
【例4】(2018浙江衢州中考模拟)如图，把个边长为1的正方形拼接成一排，求得，，，计算 ，……按此规律，写出 (用含的代数式表示)．
【答案】，.
【解析】
试题解析：作CH⊥BA4于H，
由勾股定理得，BA4=，A4C=，
△BA4C的面积=4-2-=，
∴××CH=，
解得，CH=，
则A4H==，
∴tan∠BA4C==，
1=12-1+1，
3=22-2+1，
7=32-3+1，
∴tan∠BAnC=.
考点：1.解直角三角形；2.勾股定理；3.正方形的性质．
【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理和正方形的性质.．
【举一反三】
某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB、CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°，点E的俯角也为30°，测得B、E间距离为10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高(结果保留根号)
【来源】四川省宜宾市2018年中考数学试题
【答案】立柱CD的高为(15﹣)米．
【解析】分析：作CH⊥AB于H，得到 BD=CH，设CD=x米，根据正切的定义分别用x表示出HC、ED，根据正切的定义列出方程，解方程即可．
详解：作CH⊥AB于H，
则四边形HBDC为矩形，
∴BD=CH，
由题意得，∠ACH=30°，∠CED=30°，
点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、仰角俯角的定义是解题的关键．
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一、选择题
1. 在中，，于，平分交于，则下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
【来源】江苏省扬州市2018年中考数学试题
【答案】C
【解析】分析：根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE=∠DCE，再结合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边即可得出BC=BE，此题得解．
点睛：本题考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、余角、角平分线的定义以及等腰三角形的判定，通过角的计算找出∠BEC=∠BCE是解题的关键．
2. 在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【来源】山东省滨州市2018年中考数学试题
【答案】A
【解析】分析：直接根据勾股定理求解即可．
详解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，
∴弦为
故选A．
点睛：本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方3. (浙江省宁波市李兴贵中学2017-2018学年八年级上册期末模拟)直角三角形两直角边长为a，b，斜边上高为h，则下列各式总能成立的是( )
A. ab=h2 B. a2+b2=2h2 C. D.
【答案】D
【解析】根据直角三角形的面积可以导出：斜边c=． 再结合勾股定理：a2+b2=c2． 进行等量代换，得a2+b2=，两边同除以a2b2， 得．
故选D．
4. (华师大版九年级数学下册：2018年中考模拟)“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得(单位：尺)，则井深为( )
A. 1.25尺 B. 57.5尺 C. 6.25尺 D. 56.5尺
【答案】B
【解析】依题意有△ABF∽△ADE，
∴AB:AD=BF:DE，
即5:AD=0.4:5，
解得AD=62.5，
BD=AD−AB=62.5−5=57.5尺。
故选：B.
5. (2018•金山区一模)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D是AB的中点，G是△ABC的重心，如果以点D为圆心DG为半径的圆和以点C为圆心半径为r的圆相交，那么r的取值范围是( )
A．r＜5 B．r＞5 C．r＜10 D．5＜r＜10
【答案】D
∴AB==15，CD=AB=7.5，
∵G是△ABC的重心，
∴DG=CD=2.5，
∴CG=7.5﹣2.5=5，CE=7.5+2.5=10，
∵以点D为圆心DG为半径的圆和以点C为圆心半径为r的圆相交，
∴r的取值范围是5＜r＜10，
故选：D．
点睛：此题主要考查了圆与圆的位置关系、三角形重心性质以及直角三角形斜边上中线的性质的运用，解决问题的关键是结合题意画出符合题意的图形，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
二、填空题
6. (吉林省实验中学2018年九年级第二学期第一次模拟数学试卷)已知在中，BC=6，AC=， A=30°，则AB的长是________________.
【答案】12或6
【解析】根据题意画出图形如下图所示，则由题意可知：图中，AC=，CB1=CB2=6，∠A=30°，
过点C作CD⊥AB于点D，
∴∠CDA=∠CDB2=90°，
∵AC=，∠A=30°，CB1=CB2，
∴CD=，AD=，DB1=DB2=，
∴AB=AD-DB1=9-3=6或AB=AD+DB2=9+3=12.
故答案为：6或12.
点睛：本题的解题要点是：根据题意画出图形时，需注意∠ABC可能是钝角，也可能是锐角，因此需分这两种情况分别进行讨论解答，解题时不能忽略了其中任何一种情况.
7. (山东省平邑县阳光中学2018届九年级一轮复习)如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=6，AF=4，cos∠EAF=，则CF=______．学！科网
【答案】
【解析】试题解析：∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴
又∵AB∥DC，
∴ .
又∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，即 .
又∵ ∠ B=∠D，所以 ， .
由题，AF=4，AE=6，
则根据勾股定理，易得 ， ，
∴ .
所以本题的正确答案为 .
8.在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，则BC= ．
【答案】．
【解析】
试题分析：∵∠B=30°，AB=12，AC=6，∴△ABC是直角三角形，∴BC===，故答案为：．
考点：1．含30度角的直角三角形；2．勾股定理．
9. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上.
(1)的大小为__________(度)；
(2)在如图所示的网格中，是边上任意一点.为中心，取旋转角等于，把点逆时针旋转，点的对应点为.当最短时，请用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的(不要求证明)__________．
【来源】天津市2018年中考数学试题
【答案】 ； 见解析
【解析】分析：(1)利用勾股定理即可解决问题；
(2)如图，取格点，，连接交于点；取格点，，连接交延长线于点；取格点，连接交延长线于点，则点即为所求.
详解：(1)∵每个小正方形的边长为1，
∴AC=，BC=，AB=,
(2)如图，即为所求.
点睛：本题考查作图-应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题.
10. (浙江省平阳县2017-2018学年九年级第一学期第二次阶段检测数学数学试题)如图以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=4，AO=6，则AC= ________
【答案】16
【解析】试题分析：在AC上取一点G使CG＝AB＝4，连接OG．
∵∠GOC＋∠GOH＝90°，
∴∠GOH＋∠BOA＝90°，
即：∠AOG＝90°．
∴△AOG是等腰直角三角形，
∴AG＝＝12．
∴AC＝16．
故答案为：16．
点睛：本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．
11. (天津市南开区育红中学 2018年九年级数学中考夯基卷)某直角三角形三条边的平方和为200，则这个直角三角形的斜边长为 ．
【答案】10．
【解析】解：∵一个直角三角形的三边长的平方和为200，∴斜边长的平方为100，则斜边长为：10．故答案为：10．
三、解答题
12. (2018•崇明县一模)如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，cosA=，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF．
(1)如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；
(2)如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE的正切值；
(3)如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长．
【答案】见解析
试题解析：(1)∵∠ACB=90°，
∴，
∵AC=8，
∴AB=10，
∵D是AB边的中点，
∴，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA=∠DEC=90°，
∴，
∴AE=4，
∴CE=8﹣4=4，
∵在Rt△AED中，AE2+DE2=AD2，
∴DE=3，
∵DF⊥DE，
∴∠FDE=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴DF=EC=4，
∵在Rt△EDF中，DF2+DE2=EF2，
∴EF=5
(2)不变
如图2，
过点D作DH⊥AC，DG⊥BC，垂足分别为点H、G，
由(1)可得DH=3，DG=4，
∵DH⊥AC，DG⊥BC，
∴∠DHC=∠DGC=90°
又∵∠ACB=90°，
∴四边形DHCG是矩形，
∴∠HDG=90°，
∵∠FDE=90°，
∴∠HDG﹣∠HDF=∠EDF﹣∠HDF，
即∠EDH=∠FDG，
又∵∠DHE=∠DGF=90°
∴△EDH∽△FDG，
∴，
∵∠FDE=90°，
∴，
即∠DFC=90°，
又∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴，
∴，
②当FQ=FC时，
∴∠BCD=∠CQF，
∵点D是AB的中点，
∴BD=CD=AB=5，
∴∠BDC=∠BCD，
∴∠BCD=∠FCQ，∠BDC=∠CFQ，
∴△FQC∽△DCB，
∴设DE=3k，则DF=4k，EF=5k，
∵∠DEF=∠DCF=∠CQF=∠DQE，
∴DE=DQ=3k，
∴CQ=5﹣3k，
∵△DEQ∽△DCB，
∴，
∴，
∴，
∵△FQC∽△DCB，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
③当CF=CQ时，如图3，
∴∠BCD=∠CQF，
由②知，CD=BD，
∴∠BDC=∠BCD，
∵△EDQ∽△BDK，
∴，
∴DQ=m，
∴CQ=FC=5﹣m，
∵△CQF∽△BDK，
∴，
∴，
解得m=，
∴，
∴．
即：△CQF是等腰三角形时，BF的长为3或或．
点睛：此题是三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是判断出相似三角形得出比例式建立方程求解．
13. (2019•河北)已知：整式A=(n2-1)2+(2n)2，整式B>0．
尝试化简整式A．
发现A=B2，求整式B．
联想由上可知，B2=(n2-1)2+(2n)2，当n>1时，n2-1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：
直角三角形三边
n2-1
2n
B
勾股数组Ⅰ
/
8
__________
勾股数组Ⅱ
35
/
__________
【解析】A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2，
∵A=B2，B>0，
∴B=n2+1，
当2n=8时，n=4，∴n2+1=42+1=15；
当n2-1=35时，n2+1=37．
故答案为：15；37．
14在菱形中，,点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随点的位置变化而变化.
(1)如图1，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ；
(2)当点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，
请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理).
(3) 如图4，当点在线段的延长线上时，连接，若 , ,求四边形的面积.
【来源】江西省2018年中等学校招生考试数学试题
【答案】(1)BP=CE； CE⊥AD；(2)成立，理由见解析；(3) .
【详解】(1)①BP=CE，理由如下：
连接AC，
∵菱形ABCD，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE ，∠PAE=60° ，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE；
(2)(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立，理由如下：
连接AC，
∵菱形ABCD，∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD=120° ，
∠BAP=120°＋∠DAP，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE ， ∠PAE=60° ，
∴∠CAE=60°＋60°＋∠DAP=120°＋∠DAP，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE，，
∴∠DCE=30° ，∵∠ADC=60°，
∴∠DCE＋∠ADC=90° ， ∴∠CHD=90° ，∴CE⊥AD，
∴(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立；
(3) 连接AC交BD于点O，CE，作EH⊥AP于H，
由(2)知BP=CE=8，∴DP=2，∴OP=5，
∴，
∵△APE是等边三角形，∴ ， ，
∵，
∴，
=
=
=，
∴四边形ADPE的面积是 .
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形判定与性质等，熟练掌握相关知识，正确添加辅助线是解题的关键. 学科*网
15. (2019•枣庄)在中，，，于点．
(1)如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段AM的长；
(2)如图2，点，分别在，上，且，求证：；
(3)如图3，点在的延长线上，点在上，且，求证：．
【解析】(1)∵，，，
∴，，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
由勾股定理得，，即，解得，
∴．
(2)∵，，∴，
在和中，，
∴，
∴．
(3)如图，过点作交的延长线于，
∴，
则，，∴，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，∴，
∴．
【名师点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形
的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
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