中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第28讲 直角三角形（原卷版）学案

考点二十八：直角三角形

聚焦考点☆温习理解

一、直角三角形

1.定义

有一个角是直角的三角形叫作直角三角形

2.性质

(1)直角三角形两锐角互余.

(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

3.判定

(1)两个内角互余的三角形是直角三角形.

(2)三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

二、勾股定理及逆定理

1. 勾股定理：

直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2;

2. 勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

三、直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方法，还有HL定理(斜边、直角边定理)：

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)

名师点睛☆典例分类

考点典例一、直角三角形的判定

【例1】(2017-2018学年山东省诸城市桃林镇桃林初中期末模拟)下列条件不能判定一个三角形为直角三角形的是(   )

A. 三个内角之比为1：2：3    B. 一边上的中线等于该边的一半

C. 三边为 、 、       D. 三边长为m2+n2、m2﹣n2、2mn(m≠0，n≠0)

【举一反三】

(2018年广西防城港市中考模拟)如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有     (多选、错选不得分)．

①∠A+∠B=90°              

②AB2=AC2+BC2

③                

④CD2=AD•BD．

(2018·保定模拟)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪一灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：

将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2.

证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b－a.

∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab，

又∵S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)，

∴b2＋ab＝c2＋a(b－a)．

∴a2＋b2＝c2.

请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．

将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°.求证：a2＋b2＝c2.

考点典例二、直角三角形的性质

【例2】(2018江苏南京中考模拟)如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于(　　)

A．2 B． C． D．

【举一反三】

我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为(    )

A. 20    B. 24    C.     D.

考点典例三、直角三角形斜边上的中线

【例3】(2019•湖南邵阳•3分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于(　　)

A．120° B．108° C．72° D．36°

【举一反三】

(2018•杨浦区一模)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，M是AB中点，MH⊥BC，垂足为点H，CM与AH交于点O，如果AB=12，那么CO=　　．

考点典例四、解直角三角形

【例4】(2018浙江衢州中考模拟)如图，把个边长为1的正方形拼接成一排，求得，，，计算          ，……按此规律，写出          (用含的代数式表示)．

【举一反三】

某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB、CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°，点E的俯角也为30°，测得B、E间距离为10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高(结果保留根号)

课时作业☆能力提升[来源:学|科|网Z|X|X|K]

一、选择题

1. 在中，，于，平分交于，则下列结论一定成立的是(   )

A.     B.     C.     D.

点睛：本题考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、余角、角平分线的定义以及等腰三角形的判定，通过角的计算找出∠BEC=∠BCE是解题的关键．

2. 在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为(　　)

A. 5    B. 6    C. 7    D. 8

3. (浙江省宁波市李兴贵中学2017-2018学年八年级上册期末模拟)直角三角形两直角边长为a，b，斜边上高为h，则下列各式总能成立的是(   )

A. ab=h2    B. a2+b2=2h2    C.     D.

4. (华师大版九年级数学下册：2018年中考模拟)“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得(单位：尺)，则井深为(  )

A. 1.25尺    B. 57.5尺    C. 6.25尺    D. 56.5尺

5. (2018•金山区一模)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D是AB的中点，G是△ABC的重心，如果以点D为圆心DG为半径的圆和以点C为圆心半径为r的圆相交，那么r的取值范围是(　　)

A．r＜5 B．r＞5 C．r＜10 D．5＜r＜10

二、填空题

6. (吉林省实验中学2018年九年级第二学期第一次模拟数学试卷)已知在中，BC=6，AC=， A=30°，则AB的长是________________.

7. (山东省平邑县阳光中学2018届九年级一轮复习)如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=6，AF=4，cos∠EAF=，则CF=______．学！科网

8.在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，则BC=       ．

9. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上.

(1)的大小为__________(度)；

(2)在如图所示的网格中，是边上任意一点.为中心，取旋转角等于，把点逆时针旋转，点的对应点为.当最短时，请用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的(不要求证明)__________．

10. (浙江省平阳县2017-2018学年九年级第一学期第二次阶段检测数学数学试题)如图以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=4，AO=6，则AC=   ________

11. (天津市南开区育红中学 2018年九年级数学中考夯基卷)某直角三角形三条边的平方和为200，则这个直角三角形的斜边长为　　    ．

三、解答题

12. (2018•崇明县一模)如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，cosA=，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF．

(1)如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；

(2)如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE的正切值；

(3)如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长．

13. (2019•河北)已知：整式A=(n2-1)2+(2n)2，整式B>0．

尝试化简整式A．

发现A=B2，求整式B．

联想由上可知，B2=(n2-1)2+(2n)2，当n>1时，n2-1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：

14在菱形中，,点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随点的位置变化而变化.

(1)如图1，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是         ，与的位置关系是                    ；

(2)当点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，

请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理).   

(3) 如图4，当点在线段的延长线上时，连接，若 , ,求四边形的面积.         

15. (2019•枣庄)在中，，，于点．

(1)如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段AM的长；

(2)如图2，点，分别在，上，且，求证：；

(3)如图3，点在的延长线上，点在上，且，求证：．