高一数学北师大版选修2-2第三章 §1 1.2 应用创新演练教案

1.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值有(　　)

A．1个　　　　　　　　　B．2个

C．3个　　　　　　　　　D．4个

解析：导数由负到正为极小值点，则由图像可知极小值点有一个．

答案：A

2．函数y＝2x3－3x2的极值情况为(　　)

A．在x＝0处取得极大值0，但无极小值

B．在x＝1处取得极小值－1，但无极大值

C．在x＝0处取得极大值0，在x＝1处取得极小值－1

D．以上都不对

解析：因为y＝2x3－3x2，

所以y′＝6x2－6x＝6x(x－1)．

令y′＝0，解得x＝0或x＝1.

令y＝f(x)，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以，当x＝0时，函数y＝2x3－3x2取得极大值0；

当x＝1时，函数y＝2x3－3x2取得极小值－1.

答案：C

3．函数y＝ax＋ln(1－x)在x＝0时取极值，则a的值为(　　)

A．0　　　　　　　　　　 B．1

C．－1       D．不存在

解析：y′＝a＋＝(x<1)，

由题意得x＝0时y′＝0，即a＝1.

检验：当a＝1时y′＝，当x<0时y′>0，

当0<x<1时y′<0，符合题意．

答案：B

4．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极值，则(　　)

A．0<b<1       B．b<0

C．b>0       D．b<

解析：f′(x)＝3x2－3b.因f(x)在(0,1)内有极值，所以f′(x)＝0有解，∴x＝±，∴0<<1，∴0<b<1.

答案：A

5．(2011·广东高考)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．

解析：由题意知f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2，由f′(x)>0得x<0或x>2，

由f′(x)<0得0<x<2.∴f(x)在x＝2处取得极小值．

答案：2

6．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图像经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中正确的是________．

①当x＝时函数取得极小值；

②f(x)有两个极值点；

③当x＝2时函数取得极小值；

④当x＝1时函数取得极大值．

解析：由图像可知，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；

当x∈(1,2)时，f′(x)<0；

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.

∴f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时，函数取得极大值，故只有①不正确．

答案：②③④

7．求下列函数的极值．

(1)f(x)＝x3－x2－3x＋4；

(2)f(x)＝x3ex.

解：(1)∵f(x)＝x3－x2－3x＋4，

∴f′(x)＝x2－2x－3.

令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化，如表所示：

∴x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极小值点．

∴f(x)极大值＝f(－1)＝，f(x)极小值＝f(3)＝－5.

(2)f′(x)＝3x2·ex＋x3·ex＝ex·x2(x＋3)，

由f′(x)＝0得x＝0或x＝－3.

当x变化时，f′(x)与f(x)的变化如表所示：

由表可知x＝－3是f(x)的极小值点．

f(x)极小值＝f(－3)＝－27e－3，函数无极大值．

8．设函数f(x)＝x3－x2＋6x－a，若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

解：f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)，

由于当x<1时，f′(x)>0；

当1<x<2时，f′(x)<0；

当x>2时，f′(x)>0；

所以，当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝－a；

当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a；

故当f(2)>0或f(1)<0时，方程f(x)＝0仅有一个实根，解得a<2或a>.

故a的取值范围是(－∞，2)∪.