高一数学北师大版选修2-2第三章 §2 2.2 应用创新演练教案

1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)(　　)

A．等于0　　　　　　　　 B．大于0

C．小于0       D．以上都有可能

答案：A

2．设函数f(x)＝x(x2－3)，则f(x)在区间[0,1]上的最小值为(　　)

A．－1       B．0

C．－2       D．2

解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x∈[0,1]时f′(x)≤0，即f(x)在区间[0,1]上是减少的，最小值为f(1)＝－2.

答案：C

3．函数f(x)＝2sin x－x在上的最大值点及最大值是(　　)

A.，－      B．0,0

C.，2－      D．0,2

解析：f′(x)＝2cos x－1，x∈时f′(x)≥0，x∈时f′(x)≤0，∴为最大值点，f＝－为函数的最大值．

答案：A

4．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为(　　)

A. cm       B．100 cm

C．20 cm       D. cm

解析：设高为h，体积为V，

则底面半径r2＝202－h2＝400－h2，

∴V＝πr2h＝ (400h－h3)，

V′＝(400－3h2)，

令V′＝0，得h＝或h＝－(舍去)．

可知，当h＝时V最大．

答案：A

5．设x0是函数f(x)＝(ex＋e－x)的最小值点，则曲线上点(x0，f(x0))处的切线方程是________．

解析：f′(x)＝(ex－e－x)，令f′(x)＝0，∴x＝0，

可知x0＝0为最小值点．切点为(0,1)，f′(0)＝0为切线斜率，∴切线方程为y＝1.

答案：y＝1

6．函数f(x)＝，x∈[－2,2]的最大值是________，最小值是________．

解析：∵y′＝＝，

令y′＝0可得x＝1或－1.

又∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(2)＝，f(－2)＝－，

∴最大值为2，最小值为－2.

答案：2　－2

7．求函数f(x)＝ex(3－x2)在区间[2,5]上的最值．

解：∵f(x)＝3ex－exx2，∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)，

∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，

∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.

8．(2011·江苏高考)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．

(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问：x应取何值？

(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问：x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．

由已知得

a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.

(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，

所以当x＝15时，S取得最大值．

(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．

由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20.

当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.

所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．

此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.