苏教版必修13.4.1 函数与方程教学设计及反思

函数与方程

 [时间：45分钟　　分值：100分]

1．函数f(x)＝x(x2－16)的零点是(　　)

A．(0,0)，(4,0) 

B．(－4,0)，(0,0)，(4,0)

C．0,4 

D．－4,0,4

2．若函数f(x)＝x2＋2x＋3a没有零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．a＜  B．a＞

C．a≤  D．a≥

3．[2010·天津卷] 函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　)

A．(－2，－1)  B．(－1,0)

C．(0,1)  D．(1,2)

4．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)＞0的解集是________．

5．下列函数中不能用二分法求零点的是(　　)

图K11－1

6．已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下对应值表：

那么函数在区间[1,6]上的零点至少有(　　)

A．5个  B．4个  C．3个  D．2个

7．[2011·上海八校联考]  设a，b，k是实数，二次函数f(x)＝x2＋ax＋b满足：f(k－1)与f(k)异号，f(k＋1)与f(k)异号．在以下关于f(x)的零点的命题中，真命题是(　　)

A．该二次函数的零点都小于k

B．该二次函数的零点都大于k

C．该二次函数的两个零点之差一定大于2

D．该二次函数的零点均在区间(k－1，k＋1)内

8．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则(　　)

A．a<b<c  B．a<c<b

C．b<a<c  D．c<a<b

9．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝lnx－的零点，则g(x0)等于(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

10．[2011·山东卷] 已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.

11．已知函数f(x)＝若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点的个数为________．

12．[2011·辽宁卷] 已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．

13．已知函数f(x)＝|x|＋|2－x|，若函数g(x)＝f(x)－a的零点个数不为0，则a的最小值为________．

14．(10分)已知函数f(x)＝x3－3x＋2.

(1)求f(x)的零点；

(2)求分别满足f(x)＜0，f(x)＝0，f(x)＞0的x的取值范围；

(3)画出f(x)的大致图像．

15．(13分)若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.

(1)求函数的解析式；

(2)若函数g(x)＝f(x)－k有三个零点，求实数k的取值范围．

16．(12分)(1)已知关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围；

(2)已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．

课时作业(十一)

【基础热身】

1．D　[解析] 当f(x)＝x(x2－16)＝0时，解得x＝－4,0,4.

2．B　[解析] 由题意，函数f(x)＝x2＋2x＋3a没有零点，即方程x2＋2x＋3a＝0无解，即方程的判别式小于零，解不等式Δ＝22－4×3a＜0，得a＞.

3．B　[解析] ∵f(－1)＝2－1＋3×(－1)＝－<0， f(0)＝20＋0＝1>0，∴f(－1)f(0)<0，

∴f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间为(－1,0)．

4.　[解析] ∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.

∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，

由根与系数的关系知∴

∴f(x)＝x2－x－6.

∵不等式af(－2x)＞0，

即－(4x2＋2x－6)＞0⇒2x2＋x－3＜0，

解集为

【能力提升】

5．B　[解析] 函数图像与横轴的交点的横坐标为零点，A，C，D符合，但二分法要求在区间[a，b]上，存在f(a)·f(b)<0，所以只有B不符合．

6．C　[解析] 在区间[2,3]、[3,4]、[4,5]上至少各有一个零点．

7．D　[解析] 由题意f(k－1)·f(k)<0，f(k)·f(k＋1)<0，由零点的存在性定理可知区间(k－1，k)，(k，k＋1)内各有一个零点，零点可能是区间内的任何一个值，故D正确．

8．B　[解析] 由于f(－1)＝－1＝－<0，f(0)＝1>0，故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0)．

因为g(2)＝0，故g(x)的零点b＝2.

因为h＝－1＋＝－<0，h(1)＝1>0，

故h(x)的零点c∈，因此a<c<b.

9．B　[解析] 因为f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3－>0，故x0∈(2,3)，g(x0)＝[x0]＝2.

10．2　[解析] 因为2＜a＜3，所以loga2＜1＝logaa＜loga3，因为3＜b＜4，所以b－2>1>loga2，b－3＜1＜loga3，所以f(2)·f(3)＝(loga2＋2－b)·(loga3＋3－b)＜0，所以函数的零点在(2,3)上，所以n＝2.

11．3　[解析] f(0)＝－2，即－02＋b·0＋c＝－2，c＝－2；f(－1)＝1，即－(－1)2＋b·(－1)＋c＝1，故b＝－4.

故f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＝令g(x)＝0，

则－2＋x＝0，解得x＝2；－x2－3x－2＝0，解得x＝－2

或－1，故函数g(x)有3个零点．

12．(－∞，2ln2－2]　[解析] 由于f(x)＝ex－2x＋a有零点，即ex－2x＋a＝0有解，所以a＝－ex＋2x.

令g(x)＝－ex＋2x，由于g′(x)＝－ex＋2，

令g′(x)＝－ex＋2＝0，解得x＝ln2.

当x∈(－∞，ln2)时，g′(x)＝－ex＋2>0，此时g(x)为增函数；当x∈(ln2，＋∞)时，g′(x)＝－ex＋2<0，此时g(x)为减函数．

所以，当x＝ln2时，函数g(x)＝－ex＋2x有最大值2ln2－2，即g(x)＝－ex＋2x的值域为(－∞，2ln2－2]，所以a∈(－∞，2ln2－2]．

13．2　[解析] 由于f(x)＝|x|＋|2－x|＝

所以f(x)的最小值等于2，要使f(x)－a＝0有解，应a≥2，即a的最小值为2.

14．[解答] f(x)＝x3－3x＋2＝x(x－1)(x＋1)－2(x－1)

＝(x－1)(x2＋x－2)＝(x－1)2(x＋2)．

(1)令f(x)＝0，得函数f(x)的零点为x＝1和x＝－2.

(2)令f(x)＜0，得x＜－2；

令f(x)＝0得x＝1或x＝－2；令f(x)＞0，

得－2＜x＜1或x＞1.

所以满足f(x)＜0的x的取值范围是(－∞，－2)；

满足f(x)＝0的x的取值范围是{1，－2}；

满足f(x)＞0的x的取值范围是(－2,1)∪(1，＋∞)．

(3)函数f(x)的大致图像如图所示．

15．[解答] (1)由题意可知f′(x)＝3ax2－b，

于是解得

故所求的解析式为f(x)＝x3－4x＋4.

(2)由(1)可知f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，

令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.

当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示：

因此，当x＝－2时，f(x)有极大值；

当x＝2时，f(x)有极小值－.

所以函数的大致图像如图．

故要使g(x)＝f(x)－k有三个零点，实数k的取值范围是－＜k＜.

【难点突破】

16．[解答] (1)设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，

①若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解，

∵f(0)＝1>0，则应有f(2)<0，

即f(2)＝22＋(m－1)×2＋1<0，∴m<－.

②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则

∴

∴∴－≤m≤－1，

由①②可知m≤－1.

(2)∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，

即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根，

设2x＝t(t>0)，则t2＋mt＋1＝0.

当Δ＝0时，即m2－4＝0，

m＝－2时，t＝1，m＝2时，t＝－1不合题意，舍去，

∴2x＝1，x＝0符合题意．

当Δ>0，即m>2或m<－2时，

t2＋mt＋1＝0有一正一负两根，

则t1t2<0，这与t1t2＝1>0矛盾．

∴这种情况不可能，

综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.