必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.1 指数函数3.1.2 指数函数教学设计

第十八课时 指数函数（3）

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学习要求

1．熟练掌握指数函数的图象和性质；

2．能运用指数函数的图象和性质解决一些实际问题，体会指数函数是一类重要的函数模型；

3．培养学生从特殊到一般的抽象、归纳的能力以及分析问题、解决问题的能力．

自学评价

1．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为，平均增长率为，则对于时间的总产值，可以用公式        表示.

【精典范例】

例1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩留的质量是原来的84%．写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式．

【解】

设该物质的质量是1,经过年后剩留量是.

   经过1年,剩留量

   经过2年,剩留量

…………………………

   经过年,剩留量

点评:先考虑特殊情况，然后抽象到一般结论．

例2：某种储蓄按复利计算利息，若本金为元，每期利率为，设存期是，本利和（本金加上利息）为元．

（1）写出本利和随存期变化的函数关系式；

（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．

分析：复利要把本利和作为本金来计算下一年的利息．

【解】

 (1)已知本金为元,利率为则:

     1期后的本利和为

     2期后的本利和为

     ……………………………

     期后的本利和为

(2)将代入上式得

(元).

答:5期后的本利和为1117.68元

点评:审清题意是求函数关系式的关键；同时要能从具体的、特殊的结论出发，归纳、总结出一般结论．

例3：年，我国国内生产总值年平均增长7.8%左右．按照这个增长速度，画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象，并通过图象观察到2010年我国国内生产总值约为2000年的多少倍（结果取整数）．

【解】设2000年我国的年生产总值为,则年生产总值随时间(年)的函数关系可

表示为

图象为

由图象可见经过10年国内生产总值约2倍.

或当时

 ，

   答:2010年我国国内生产总值约为2000年的2倍.

点评:建立函数关系是解决实际问题的重要方法，同时利用函数图象求方程的近似解是常用方法．

追踪训练一

1.（1） 一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件个,计划从今年开始的年内,每年生产此种规格电子元件的产量比上一年增长,则此种规格电子元件的年产量随年数变化的函数关系式为

   .

（2）一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件的成本是元/个, 计划从今年开始的年内, 每年生产此种规格电子元件的单件成本比上一年下降,则此种规格电子元件的单件成本随年数变化的函数关系式是

．

2. 年月日,美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息:”市政委员会今天宣布:本市垃圾的体积达到”,副标题是:”垃圾的体积每三年增加一倍”.如果把三年作为垃圾体积加倍的周期,请你完成下面关于垃圾体积与垃圾体积的加倍的周期(年)数的关系的表格,并回答下列问题:

(1)    设想城市垃圾的体积每三年继续加倍,问年后该市垃圾的体积是多少?

(2)    根据报纸所述的信息,你估计年前垃圾的体积是多少?

(3)    如果,这时的表示什么信息?

(4)    写出与的函数关系式,并画出函数图象(横轴取轴);

(5)    曲线可能与横轴相交吗?为什么?

解:(1)由于垃圾的体积每年增加倍,年后即个周期后, 该城市垃圾的体积是.

(2) 根据报纸所述的信息,估计年前垃圾的体积是.

(3)如果,这时的表示年前,表示年前的垃圾.

（4）与的函数关系式是，图象如图

（5）对任意整数，有，所以，曲线不可能与横轴相交.

【选修延伸】

一、指数函数与二次函数的选择  

例4: 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、万件、万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据．用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或（其中为常数）．已知4月份该产品的产量为万件，请问用哪个函数作为模拟函数较好并说明理由．

 【解】

 (1)若选用二次函数,则可设为

  由条件可得:

  解得:

  当时,(万件)

  (2)若选用

     解得

  当时,(万件)

由(1)(2)可得选用较好.

追踪训练二

1．某人承包了一片荒山，承包期限为10年，准备栽种5年可成材的树木。该树木从树苗到成材期间每年的木材增长率为，以后每年的木材增长率为，树木成材后，既可出售树木，重栽新树苗，也可让其继续生长至承包期满。问：哪一种方案可获得较多的成材木材量？（参考数据：）．

解：设新树苗的木材量为，

①若连续生长10年，木材量为

，

②生长5年重栽新树苗，木材量为

，

则．

∴，

生长5年重栽新树苗可获得较大的木材量．